Изменения
Нет описания правки
{{Утверждение
|statement=<tex>0</tex> является [[Собственные векторы и собственные значения|собственным значением]] матрицы, кратность его равна числу компонент связности графа.
|proof=Собственным значением матрицы называют значения <tex>\lambda</tex>, которые удовлетворяют уравнению:
Следовательно, <tex>0</tex> является собственным значением.
'''Доказательство кратности:'''
Пусть дан граф <tex>G</tex> c <tex>n</tex> компонентами связности. Перенумеруем его вершины так, чтобы сначала шли вершины первой компоненты связности, затем второй и т.д. Тогда матрица Кирхгофа примет блочно-диагональный вид, и <tex>i</tex>-тый блок этой матрицы будет являтся матрицей Кирхгофа для <tex>i</tex>-той компоненты связности.
По свойству блочно-диагональной матрицы <tex>\det K = \det K_{1} * \det K_{2} * \cdots * \det K_{n}</tex>, где <tex>K_{i}</tex> - матрица Кирхгофа для <tex>i</tex>-той компоненты связности.
из <tex>\det K_{i} = - \lambda * det X_{i} </tex> (по 2 свойству) следует:
<tex>\det K = (-1)^{n} * \lambda^{n} * \det X_{1} * \det X_{2} * \cdots * \det X_{n}</tex>
}}
