Изменения

|about=об укладке графа с планарными компонентами вершинной двусвязности.

Предварительно заметим, что методика отображения укладок на сфере в укладки на плоскости доказательстве используются утверждения лемм [[Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности#l1|I]] и наоборот устанавливается в лемме на странице [[Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности#l2|II]] из статьи [[Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности]]. Уложим Итак, уложим <tex>G_2</tex> на сфере и уложим <tex>G_1</tex> на плоскости так, чтобы ребро <tex>e_1 \in G_1</tex> смежное с <tex>ev_1</tex> в G' (если таковое имеется) оказалось на границе внешней грани (по [[#l1l2|лемме II]] это возможно). Обозначим за Если такого ребра <tex>e_1</tex> не существует, значит вершина <tex>uv_1</tex> - вершину из изолирована, в таком случае возьмем любую укладку <tex>G_2G_1</tex> инцедентную на плоскости и переместим точку, соответствующую <tex>ev_1</tex>во внешнюю грань. Сожмем часть плоскости, содержащую укладку <tex>G_1</tex> так , чтобы она вмещалась в одну из граней укладки <tex>G_2</tex> смежную с <tex>uv_1</tex>. Рассмотрим множество <tex>U</tex> вершин смежных с <tex>u_1v_1</tex>. Отбросим ребра инцидентные Уберем кривые, соответствующие ребрам, инцидентным <tex>u_1v_1</tex>, ясно. Ясно, что после этого множество вершин <tex>U</tex> лежит на внешней границе укладки <tex>G_1</tex>. Соединим теперь каждую вершину из <tex>U</tex> c <tex>u_2v_2</tex> не пересекающимися непересекающимися жордановыми линиямитак, так что бы чтобы они не задевали укладок <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>. Таким образом мы совместили вершины <tex>u_1v_1</tex> и <tex>u_2v_2</tex> в вершине <tex>u_2v_2</tex>, а значит получили укладку графа <tex>G</tex> на сфере, следовательно <tex>G</tex> - планарен.