Изменения

|statement=Если <tex>L=N(PS)</tex> для некоторого ДМП автомата <tex>PS</tex>, то <tex>L</tex> имеет однозначную КС-грамматику

Утверждаем, что конструкция [[Совпадение множества языков МП-автоматов и контекстно-свободных языков#th2|теоремы]] порождает однозначную КС-грамматику <tex>G\Gamma</tex>, когда МП-автомат, к которому она применяется, детерминирован. Вначале вспомним [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора#t2|теорему]], говорящую, что для однозначности грамматики <tex>G\Gamma</tex> достаточно показать, что она имеет уникальные левые порождения.

Предположим, <tex>PS</tex> допускает <tex>w</tex> по пустому магазину. Тогда он делает это с помощью одной-единственной последовательности переходов, поскольку он детерминирован и не может работать после опустошения магазина. Зная эту последовательность переходов, мы можем однозначно определить выбор каждой продукции в левом порождении <tex>w</tex> в <tex>G\Gamma</tex>. Правило автомата <tex>PS</tex>, на основании которого применяется продукция, всегда одно. Но правило, скажем, <tex>\delta(q, a, X) = \{(r, Y_1Y_2...Y_k)\}</tex>, может порождать много продукций грамматики <tex>G\Gamma</tex>, с различными состояниями в позициях, отражающих состояния <tex>PS</tex> после удаления каждого из <tex>Y_1</tex>, <tex>Y_2</tex>, ..., <tex>Y_k</tex>. Однако, поскольку <tex>PS</tex> детерминирован, осуществляется только одна из этих последовательностей переходов, поэтому только одна из этих продукций в действительности ведет к порождению <tex>w</tex>.

|statement=Если <tex>L=L(PS)</tex> для некоторого ДМП-автомата <tex>PS</tex>, то <tex>L</tex> имеет однозначную КС-грамматику

Пусть <tex>\$</tex> будет “концевым маркером”, отсутствующим в цепочках языка <tex>L</tex>, и пусть <tex>L` = L\$</tex>. Таким образом, цепочки языка <tex>L`</tex> представляют собой цепочки из <tex>L</tex>, к которым дописан символ <tex>\$</tex>. Тогда <tex>L`</tex> имеет префиксное свойство, и <tex>L` = N(PS`)</tex> для некоторого ДМП-автомата <tex>PS`</tex>. По [[#t1|теореме 1]] существует однозначная грамматика <tex>G\Gamma`</tex>, порождающая язык <tex>N(PS`)</tex>, т.е. <tex>L`</tex>.

Теперь по грамматике <tex>G\Gamma`</tex> построим <tex>G\Gamma</tex>, для которой <tex>L(G\Gamma) = L</tex>. Для этого нужно лишь избавиться от маркера <tex>\$</tex> в цепочках. Будем рассматривать <tex>\$</tex> как переменную грамматики <tex>G\Gamma</tex> и введем продукцию <tex>\$ \rightarrow \epsilon</tex>; остальные продукции <tex>G\Gamma</tex> и <tex>G\Gamma`</tex> одинаковы. Поскольку <tex>L(G\Gamma`) = L`</tex>, получаем, что <tex>L(G\Gamma) = L</tex>.

Утверждаем, что <tex>G\Gamma</tex> однозначна. Действительно, левые порождения в <tex>G\Gamma</tex> совпадают с левыми порождениями в <tex>G\Gamma`</tex>, за исключением последнего шага в <tex>G\Gamma</tex> — изменения <tex>\$</tex> на <tex>\epsilon</tex>. Таким образом, если бы терминальная цепочка <tex>w</tex> имела два левых порождения в <tex>G\Gamma</tex>, то <tex>w\$</tex> имела бы два порождения в <tex>G\Gamma`</tex>. Поскольку <tex>G\Gamma`</tex> однозначна, <tex>G\Gamma</tex> также однозначна.