418
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Двусторонний детерминированный конечный автомат (2ДКА)''' (англ. ''Two-way deterministic finite automaton (2DFA)'') {{---}} набор из восьми элементов <tex>M = \langle \Sigma , Q, L, R, s, t, r, \delta \rangle</tex>, где <tex>\Sigma</tex> {{---}} алфавит (англ. ''alphabet''), <tex>Q</tex> {{---}} множество состояний (англ. ''finite set of states''), <tex>L \notin \Sigma</tex> {{---}} левый маркер конца строки(англ. ''left endmarker''), <tex>R \notin \Sigma</tex> {{---}} правый маркер конца строки(англ. ''right endmarker''), <tex>s \in Q</tex> — начальное (стартовое) состояние (англ. ''start state''), <tex>t \in Q</tex> {{---}} допускающее состояние (англ. ''accept state''), <tex>r \in Q</tex> — отвергающее состояние (англ. ''reject state''), <tex>\delta : Q \times \{\Sigma \cup \{L, R\}\} \to Q \times \{left, right\}</tex> {{---}} функция переходов (англ. ''transition function'').
}}
Также должны быть удовлетворены следующие условия:
Рассмотрим длинную входную строку <tex>w_1</tex> и разобьем на две подстроки <tex>w_1=xz</tex>. Будем считать, что <tex>w_1 = a_1 a_2 a_3 \dots a_n</tex>. Пусть <tex>a_0 = L</tex> и <tex>a_{n+1}=R</tex>. Так как у нас наш автомат может производить чтение в любом направлении, то граница <tex>x</tex> и <tex>z</tex> может быть пересечена несколько раз. Каждый раз, когда автомат пересекает границу справа налево (то есть из <tex>z</tex> в <tex>x</tex>), он выходит из <tex>z</tex> в состояние <tex>q</tex>. Когда пересечение происходит снова слева направо (если оно вообще происходит), то автомат выходит из <tex>x</tex> в состояние <tex>p</tex>. Теперь, если 2ДКА перейдет в <tex>x</tex> в состояние <tex>q</tex> заново, то он снова может появиться в состоянии <tex>p</tex>. Более того, состояние <tex>p</tex> зависит исключительно от <tex>q</tex> и <tex>x</tex>. Обозначим такое отношение через <tex>T_x(q) = p</tex>. Мы может записать все такие отношения в виде конечной таблицы <tex>T_x : Q \cup \{d\} \to Q \cup \{h\}</tex>, где <tex>Q</tex> {{---}} множество состояний 2ДКА, а <tex>d</tex> и <tex>h</tex> будут описаны ниже.
На входной строке <tex>xz</tex> 2ДКА начнет чтение с левого маркера конца строки. В процессе работы автомата позиция чтения будет меняться. В конце концов это позиция пересечет слева направо границу между <tex>x</tex> и <tex>z</tex>. В первый раз, когда это произойдет в каком-нибудь состоянии , которое будем называть <tex>T_x(d)</tex> (для этого мы и выделили <tex>d</tex>). Так же автомат может никогда не выйти из <tex>x</tex>. В таком случае мы запишем <tex>T_x(d) = h</tex>. Состояние <tex>T_x(d)</tex> дает немного информации о <tex>x</tex>, но только конечное количество, поскольку существует только конечное количество вариантов для <tex>T_x(d)</tex>. Отметим, что <tex>T_x(d)</tex> зависит только от <tex>x</tex> и не зависит от <tex>z</tex>. Если на вход подавалась строка <tex>xw</tex> вместо <tex>xz</tex>, то в таком случае при пересечении границы из <tex>x</tex> в <tex>w</tex> автомат также был бы в состоянии <tex>T_x(d)</tex>, потому что его значение до того момента определялось только <tex>x</tex> и до тех пор все, что находится справа от границы никак не влияет.
Если <tex>T_x(d) = h</tex>, то 2ДКА в бесконечном цикле внутри <tex>x</tex>, и он никогда не допустит и не отвергнет входную строку.
Теперь мы может использовать теорему Майхилла-Нероуда, чтобы показать, что язык <tex>L(M)</tex> нашего автомата <tex>M</tex> [[Регулярные_языки:_два_определения_и_их_эквивалентность|регулярный]].
<tex>T_x = T_y \Rightarrow \forall z (M\ \text{accepts}\ xz \Leftrightarrow M\ \text{accepts}\ yz)</tex> <tex> \Leftrightarrow \forall z (xz \in L(M)</tex> <tex> \Leftrightarrow yz \in L(M)) \Leftrightarrow x \equiv_{L(M)} y</tex>, где <tex>\equiv_{L(M)}</tex> {{---}} [[Отношение_эквивалентности|отношение эквивалентности]] на множестве слов в алфавите. Таким образом, если 2 строки имеют одинаковые таблицы, то тогда они эквивалентны отношением <tex>\equiv_{L(M)}</tex>. Поскольку у нас только конечное число таблиц, отношение <tex>\equiv_{L(M)}</tex> имеет только конечное количество [[Отношение_эквивалентности|классов эквивалентности]], самое большее один для каждой таблицы. По Следовательно, по теореме <tex>L(M)</tex> {{---}} регулярный язык, ч.т.д.
== Пример ==
Рассмотрим следующий язык <tex>L_n = (a+b)^∗a(a+b)^{n-1}a(a+b)^∗</tex> при <tex>\forall n > 0</tex>.
Он может быть легко распознан с помощью следующего [[Недетерминированные_конечные_автоматы|недетерменированного конечного автомата]].
[[Файл:2dfa_example_1.png|600px]]
Теперь построим на его основе [[Детерминированные_конечные_автоматы|ДКА]]. Мы можем построить автомат <tex>A_n</tex>, который запоминает последние <tex>n</tex> входных символов. Следовательно, когда мы находимся с в состоянии, соответствующему подстроке <tex>\sigma_1 \sigma_2 \dots \sigma_n</tex>, и читаем очередной символ <tex>\gamma</tex>, то мы переходим в состояние, которому уже будет соответствовать подстрока <tex>\sigma_2 \sigma_3 \dots \sigma_n \gamma</tex>. Однако, в случае <tex>\sigma_1 = \gamma = a</tex> автомат переходит в допускающее состояние, где в цикле может переходить на любому символу. Следует отметить, что такая стратегия строит ДКА c <tex>2^n + 1</tex> состояниями. Ниже представлен автомат <tex>A_3</tex>, который распознает язык <tex>L_3</tex>.
[[Файл:2dfa_example_2.png|500px]]
Покажем, что построенные таким образом автоматы будут минимальными.
* Каждые две попарно различных строки <tex>x</tex> и <tex>y</tex> длины <tex>n</tex> различимы. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть строку <tex>b^{i-1}a</tex>, где <tex>i : 1 \leqslant i \leqslant n</tex> {{---}} самая левая позиция символа, в которой начинают различаться строки <tex>x</tex> и <tex>y</tex>, и проверить, что ровно одна строка <tex>xb^{i-1}a</tex> или <tex>yb^{i-1}a</tex> принадлежит <tex>L_n</tex>.
* Каждая строка длины <tex>n</tex> не принадлежит <tex>L_n</tex> и, следовательно, различима от строки со строкой <tex>a^{n+1}</tex>, которая принадлежит <tex>L_n</tex>.
* Таким образом, <tex>2^n + 1</tex> строк в <tex>\Sigma^n \cup \{a^{n+1}\}</tex> являются попарно различимыми для <tex>L_n</tex>. Как следствие, <tex>2^n + 1</tex> {{---}} минимальное количество состояний для ДКА, который способен распознать язык <tex>L_n</tex>.
