69
правок
Изменения
→Описание
== Описание==
Для начало воспользуемся графовым представлением [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]]. Пусть в нем <tex>N</tex> вершин и все вершины пронумерованы. Тогда для представления такого графа можно воспользоваться [[Матрица смежности графа|Матрицей смежности]] <tex>[N \times N]</tex> для каждого символа <tex> c \in \Sigma</tex>, в котором <tex>1</tex> означает переход из состояние <tex>i</tex> в <tex>j</tex> по символу <tex>c</tex>, а <tex>0</tex> {{- --}} его отсутствие. В этом случаи, текущее состояние автомата записывается как вектор, размерности <tex>N</tex>, в котором будет лишь одна единица, обозначающая текущее положение состояния. При помощи такого описания можно легко делать переходы из нынешнего состояние в новое состояние по символу <tex> c \in \Sigma</tex> обыкновенный ''умножением матриц''.
* Пусть у нас есть ДКА с <tex>N</tex> вершинами и его <math>\Sigma=\{c_1, c_2, c_3, \dots\}</math>. Тогда по описанному определению можно составить матрицы смежности <math>\{U_\alpha | \alpha \in \Sigma \}</math> размерности <tex>[N \times N]</tex>. Так же введем <tex>N</tex> {{---}} размерный вектор <tex>q \in Q</tex>, описывающее состояние ДКА, a <tex>q_0</tex> {{---}} начальное состояние автомата. Тогда для перехода из состояния <tex>q_0</tex> в <tex>q</tex> по строчке <tex> s = \langle \alpha_0, \alpha_1,\dots \rangle</tex> нужно воспользоваться правилом умножения матриц из линейной алгебры : <math>q = \cdots U_{\alpha_1} U_{\alpha_0} q_0.</math>
Описанное выше по сути и является ККА, но в <tex>q</tex> записываются [[wikipedia:Probability amplitude|'''амплитуды вероятностей''']], a матрицы <math>\{U_\alpha\}</math> - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Унитарная_матрица '''унитарные матрицы'''].
Для ККА характерено геометрическая интерпретация в пространстве <tex>CP^N</tex>. С этой стороны вектор <tex>q</tex> является точкой, a <math>\{U_\alpha\}</math> {{- --}} [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A8%D1%80%D1%91%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D1%80%D0%B0 операторы эволюции в представлении Шредингера].
В дополнении для ККА можно упомянуть пару особенностей :
* НКА. Из-за свойство НКА в векторе <tex>q</tex> и в столбцах матриц <math>\{U_\alpha\}</math> может находиться несколько <tex>1</tex>. Если в этом случаи рассмотреть [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона|алгоритм Томпсона]], то построенные на их основе Квантовые конечные автоматы не будут эквивалентны. Эта проблема является одно научно-исследовательских задач в теории ККА.
* Вероятностный конечный автомат. Для его построения нужно всего лишь в ККА использовать [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0 стохастические матрицы] для <math>\{U_\alpha\}</math> и вектор вероятностей состояний для <tex>q</tex>. Одно из свойств <tex>q</tex> {{- --}} сумма всех элементов равна <tex>1</tex> и для того чтобы во всех переходах сохранялось это свойство и нужны стохастические матрицы.
=== Одномерный квантовый конечный автомат===
