748
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|about=неравенство Крафта
|statement=
Тогда необходимое и достаточное условие существования префиксного кода в <tex>r</tex>-ичном алфавите для данных символов, состоит в выполнении неравенства: <center><tex> \sum\limits_{i = 1}^{In} 2r ^{-l_i} \leqslant 1 , </tex></center>где <tex>|A| = I</tex> , а <tex>l_i</tex> {{---}} длины кодовых слов.
|proof=
#Если некоторое <tex> l_i = 0 </tex> , то <tex> n = 1 </tex> . В таком случае пустая строка является искомым префиксным кодом. Далее все <tex> l_i \geqslant 1 </tex> . #Для доказательства корректности разделим длины <tex> l_i </tex> на отрезке <tex>[0;r</tex> , возможно пустых, групп, внутри каждой из которых <tex> \sum\limits r ^{-l_i} \leqslant \dfrac{1}{r} </tex> .#:Пусть у нас есть <tex>n</tex> символов, кодовые слова имеют длины <tex>l_1 \leqslant l_2 \leqslant \ldots \leqslant l_n </tex>. Давайте разделим данные символы на <tex>r</tex> групп, внутри каждой из которых <tex> \sum\limits r ^{-l_i} \leqslant \dfrac{1}{r} </tex> . Разделить символы на группы можно следующим жадным образом: брать <tex> l_i </tex> в порядке увеличения индекса.#:Докажем, что в таком случае группа будет либо полностью укомплектована <tex>(\sum\limits r ^{-l_i} = \dfrac{1]}{r})</tex> выбрать некоторое количество непересекающихся отрезков, то очевиднолибо будут исчерпаны все возможные <tex> l_i </tex> . Это следует из того, что сумма их длин не превзойдет при <tex>l_i \geqslant 1</tex>на <tex>i</tex>-ом шаге либо группа уже укомплектована, то есть либо ее остаток равен: #: <center><tex> \sumdfrac{1}{r} - \left ( r^{-l_1} + r^{-l_2} + \limits_ldots + r^{-l_{i -1}} \right ) = \dfrac{r^{l_i-1}- ( r^{l_i - l_1} + r^{l_i - l_2} + \ldots + r^{Il_i - l_{i - 1}} )} M_{C_ir^{l_i} }</tex></center>#:Так как группа не укомплектована, то числитель положителен. Если добавим <tex> l_i </tex> в группу, то числитель уменьшится на <tex>1</tex>, где <tex>l_i - l_j</tex> неотрицательно при <tex> i \geqslant j </tex> , и <tex> r \in \mathbb{N} </tex>. Следовательно числитель — натуральное число. Тогда, взяв <tex> l_i </tex> в группу, мы не перепрыгнем через максимальное значение, то есть сумма группы <tex> \leqslant \dfrac{1}{r} </tex> . А значит, создавая группы по данному алгоритму мы сможем построить <tex>r</tex> групп, удовлетворяющих условию.#Выберем для каждой группы свой начальный символ. Запуститим данную процедуру для каждой группы слов, предварительно обрезав первую букву.#По индукции по величине <tex> l_n </tex> докажем, что наш алгоритм корректен. #:'''База:''' При <tex> l_n = 0 </tex> корректность процедуры очевидна. #:'''Переход: ''' Допустим, что процедура корректна для <tex> l_n = w </tex> . Докажем, что процедура корректна и для <tex> l_n = w + 1 </tex> . #:Заметим, что у слов каждой группы будет своя начальная буква, поэтому достаточно проверить префиксность кода для каждой группы. А это истинно по предположению индукции, где для каждой группы <tex> l_i \leqslant w </tex>.
}}
== Следствие Замечания ==Можно обобщить Когда имеет место строгое неравенство Крафта для случаев? Легко заметить, когда кодирующим алфавитом что если любая концевая вершина дерева является k-ичный. В доказательстве изменятся некоторые пункты:*отрезок кодовым словом, то <tex>[0;K = 1]</tex> придется делить . Строгое неравенство имеет место лишь в случае, когда некоторые из концевых вершин не используются. Однако, в случае двоичного кодового алфавита какая-нибудь концевая вершина не используется, то предыдущее решение оказывается лишним, и соответствующая цифра может быть удалена из каждого кодового слова, декодирование которого проходит через эту вершину. Таким образом, если имеет место строгое неравенство, то код неэффективен, но для двоичных деревьев очевидно, как можно его улучшить. Заметим еще раз, что теорема утверждает существование такого кода и ничего не на <tex>2</tex>говорит о конкретных кодах. Может существовать код, а на <tex>k</tex> равных частей;который удовлетворяет неравенству Крафта и тем не менее не является префиксным. *соответственно неравенство примет вид: <tex>\sum\limits_{i = 1}^{I} k^{-l_i} \leqslant 1 </tex>= См.также ==*[[Неравенство Макмиллана]]
== Источники информации ==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Крафта Википедия — Неравенство Крафта]
*[ftphttp://remotesensingbooks.sernam.ru/InfoTheory_lec05book_htc.pdf Теория информацииphp?id=35 Неравенство Крафта]* Александр Х. Шень Программирование[https: теоремы и задачи//xlinux. {{---}} Мnist.: МЦНМО, 2007gov/dads/HTML/kraftsinqlty. {{---}} С. 208. {{---}} ISBN 978-5-94057-310-4html Kraft's inequality]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Алгоритмы сжатия]]