53
правки
Изменения
Нет описания правки
Пусть утверждение верно для <tex>|VT| < m</tex>. Рассмотрим <tex>T</tex>, для которого <tex>|VT| = m > 1</tex>, и соответствующий <tex>T</tex> подграф <tex>G'</tex> графа <tex>G</tex>. Докажем, что <tex>G'</tex> планарен.
Положим <tex>G_1</tex> — это блок графа <tex>G'</tex> являющийся висячей вершиной дерева <tex>T</tex>(вспомним, что в дереве, в котором более одной вершины, всегда есть есть висячие вершины, и то, что висячими вершинами в графе блоков и т.с. не могут быть т.с.), a <tex>v</tex> — {{---}} т.с. в <tex>G'</tex> смежная с <tex>G_1</tex> в <tex>T</tex>. <tex>G_1</tex> планарен по утверждению теоремы, т.к. блоки графа <tex>G'</tex> совпадают с блоками графа <tex>G</tex>. Заметим, что <tex>deg(v) > 01</tex>, т.к. <tex>v</tex> {{---}} т.с., следовательно не висячая. Рассмотрим два случая:
#<tex>deg(v) = 2</tex> в <tex>T</tex>. Обозначим за <tex>T'</tex> <tex>T\backslash \{u,v\}</tex>. Поскольку степень ни одной из т.с. <tex>G'</tex> принадлежащих <tex>T</tex> (кроме удаленной <tex>v</tex>) не уменьшилась, значит <tex>T'</tex> удовлетворяет условиям на <tex>T</tex> из предположения индукции. Заметим, что <tex>VT' = VT - 2 = m - 2 < m</tex>. Заметим также, что <tex>T'</tex> связен, т.к. <tex>u</tex> и <tex>v</tex> по очереди были висячими вершинами <tex>T</tex> и <tex>T\backslash \{u\}</tex>.
