Изменения

Как известно, можно подобрать такую последовательность операций с [[Дерево поиска, наивная реализация|бинарным деревом поиска в наивной реализации]], что его глубина будет пропорциональна количеству ключей, а следовательно запрос будет операции будут выполняться за <tex>O(n)</tex>. Поэтому, если поддерживать инвариант "случайности" в дереве, то можно добиться того, что математическое ожидание глубины дерева будет небольшим.

# Если <tex>T</tex> пусто, то оно является '''рандомизированным бинарным деревом поиска'''.# Если <tex>T</tex> непусто (содержит <tex>n</tex> вершин, <tex>n > 0</tex>), то <tex>T</tex> {{---}} '''рандомизированное бинарное дерево поиска ''' тогда и только тогда, когда его левое и правое поддеревья (<tex>L</tex> и <tex>R</tex>) оба являются '''RBST''', а также выполняется соотношение<tex>P[size(L) = i] = \fracdfrac{1}n, i = 1..n</tex>.

Из определения следует, что каждый ключ в RBST размера <tex>n </tex> может оказаться корнем с вероятностью <tex dpi="150">\fracdfrac{1}{n}</tex>.

Рассмотрим рекурсивный алгоритм вставки ключа <tex>x</tex> в RBST, состоящее из <tex>n</tex> вершин. С вероятностью <tex dpi = "150">\fracdfrac{1}{n+1}</tex> вставим ключ в корень дерева(разделим дерево по данному ключу и подвесим получившиеся деревья к новому корню), используя процедуру <tex>\mathrm{insert\_at\_rootinsertAtRoot}</tex>. С вероятностью <tex dpi = "150">1 - \fracdfrac{1}{n+1} = \fracdfrac{n}{n+1}</tex> вставим его в правое поддерево, если он больше корня, или в левое поддерево, если меньше. Ниже приведён псевдокод процедуры вставки <tex>\mathrm{insert}</tex>, процедуры <tex>\mathrm{insert\_at\_rootinsertAtRoot}</tex>, а также процедуры <tex>\mathrm{split(k)}</tex>, разбивающей дерево на два поддерева, в одном из которых все ключи строго меньше <tex>k</tex>, а в другом больше, либо равны; приведена достаточно очевидная рекурсивная реализация. (через <tex>Node</tex> обозначен тип вершины дерева, дерево представляется как указатель на корень).

'''Node''' insert(Tt : '''Node''', x: '''T'''): '''int''' r = '''random'''(0..T<tex>\dots</tex> t.size)) '''if''' r == nt.size T t = insert_at_rootinsertAtRoot(Tt, x) '''if''' x < roott.key T t = insert(Tt.left, x)

T t = insert(Tt.right, x) t.size = 1 + t.size '''return''' Tt

'''Node''' insert_at_rootinsertAtRoot(Tt : '''Node''', x: '''T''') : <font color="green">// вставляем в дерево T t ключ x</font> L = RBST() <font color="green">// создать пустые L и R</fontl, r> R = RBST() split(Tt, x, L, R) T = RBST() <font color="green">// создать пустое T</font> Tt.key = x Tt.left = Ll Tt.left right = Rr '''return''' Tt

'''<Node''', '''Node>''' split(Tt : '''Node''', x, L, R: '''T''') : <font color="green"> // разделяет дерево T t по x, результат {{- деревья L --}} пара деревьев r и Rl</font> '''if''' Tt.size == 0 L = RBST() R = RBST()'''return''' <''null'', ''null''> '''else if''' x < Tt.key R <l, r> = T split(Tt.left, x, L, R) t.left = r t.size = 1 + t.left).size + t.right.size r = t '''return''' <l, r>

L <l, r> = T split(Tt.right, x, L) t.right = l t.size = 1 + t.left.size + t.right.size l = t '''return''' <l, R)r>

Итак для того, чтобы доказать, что <tex>T_{L}</tex> {{---}} рандомизированное бинарное дерево поиска, осталось показать, что любая его вершина <tex>z</tex> с вероятностью <tex dpi = "150">\fracdfrac{1}{m}</tex> окажется в корне, где <tex>m</tex> {{---}} размер <tex>T_{L}</tex>. Действительно:

<tex dpi = "150">P[A \mid y < x] = \fracdfrac{P[A \; \wedge \; y < x]}{P[y < x]} = \fracdfrac{1 / n}{m / n} = \fracdfrac{1}{m}</tex>

|statement= Если <tex>T</tex> {{---}} рандомизированное бинарное дерево поиска, содержащее множество ключей <tex>K</tex>, <tex>x \notin K</tex>, тогда процедура <tex>\mathrm{insert(x, T)}</tex> вернёт рандомизированное бинарное дерево поиска <tex>T</tex>, содержащее множество ключей <tex>K \cap cup x</tex>.

В первом случае правое и левое поддеревья <tex>x</tex> по лемме являются рандомизированными BST, а также вероятность того, что <tex>x</tex> окажется в корне, равна <tex dpi = "150">\fracdfrac{1}{n + 1}</tex>. Т.е. новое дерево {{---}} рандомизированное BST.

Во втором случае корень у дерева останется прежнем. Заметим, что для каждого <tex>y \in K</tex> вероятность быть корнем была <tex dpi = "150">\fracdfrac{1}{n}</tex>, а корнем он останется с вероятностью <tex dpi = "150">\fracdfrac{n}{n + 1}</tex>, тогда для каждого <tex>y \in K</tex> вероятность быть корнем равна <tex dpi = "150">\fracdfrac{1}{n} \cdot \fracdfrac{n}{n + 1} = \fracdfrac{1}{n + 1}</tex>. По предположению же индукции поддерево, в которое вставляется <tex>x</tex> становится рандомизированным бинарным деревом поиска; а т.к. другое поддерево корня было рандомизированным, то новое дерево {{---}} рандомизированное BST.

'''Node''' remove(Tt : '''Node''', x: '''T''') : <font color="green">// удаляет ключ x из дерева T</font> '''if''' Tt.size == 0 T t = RBST()''null'' '''return''' T t <font color="green">// вернуть пустое поддерево</font> '''if''' x < Tt.key Tt.left = remove(Tt.left, x) '''else if''' x > Tt.key Tt.right = remove(Tt.right, x)

Q = RBST() Q q = merge(Tt.left, Tt.right) T t = Qq '''return''' Tt

'''Node''' merge(Ll : '''Node''', Rr : '''Node''') : <font color="green">// сливает деревья L l и Rr, результат {{--- }} дерево Tt</font> '''int''' m = Ll.size '''int''' n = Rr.size

T t = RBST()''null'' '''return''' T t <font color="green">// вернуть пустое поддерево</font> '''int''' r = '''random'''(1..<tex>\dots</tex> total)

Ll.right = merge(Ll.right, Rr) <font color="green">// с вероятностью m / (m + n)</font> l.size = 1 + l.left.size + l.right.size '''return''' Ll '''if''' r < m R.left = merge(Ll, Rr.left) <font color="green">// с вероятностью m n / (m + n)</font> r.size = 1 + r.left.size + r.right.size '''return''' Rr

|statement= Пусть <tex>L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} рандомизированные бинарные деревья поиска, содержащие соответственно множества ключей <tex>K_{L}</tex> и <tex>K_{R}</tex>, причём <tex>K_{L} < K_{R}</tex> (то есть каждый элемент <tex>K_{L}</tex> меньше каждого элемента <tex>K_{R}</tex>). Тогда операция <tex>\mathrm{merge(L, R)}</tex> вернёт рандомизированное бинарное дерево поиска, содержащее множество ключей <tex>K</tex> = <tex>K_{L} \cap cup K_{R}</tex>.

Пусть <tex>m > 0</tex> и <tex>n > 0</tex>, пусть также <tex>L.key = a</tex> или <tex>L.key = b</tex>. Без потери общности делаем корнем <tex>a</tex>. После рекурсивного слияния правого поддерева <tex>L</tex> и <tex>R</tex> получим рандомизированное бинарное дерево поиска (которое является правым поддеревом нового дерева). Левое же поддерево нового дерева тоже рандомизированное. Также верно, что для любого <tex>x \in K_{L}</tex> вероятность быть корнем равна <tex dpi = "150">\fracdfrac{1}{m + n}</tex>: действительно, вероятность оказаться в корне в <tex>L</tex> до слияния равна <tex dpi = "150">\fracdfrac{1}{m}</tex>, вероятность того, что элемент останется корнем после слияния равна <tex dpi = "150">\fracdfrac{m}{m + n}</tex>; осталось применить правило умножения.

Возможно два случая: если <tex>x</tex> {{---}} корень <tex>T</tex>, то по лемме, после удаления получим рандомизированное бинарное дерево поиска; если же <tex>x</tex> {{---}} не корень <tex>T</tex>, то <tex>x</tex> рекурсивно удаляется из поддерева исходного дерева, и по предположению индукции после удаления получаем рандомизированное BST. Осталось лишь показать, что для любого <tex>y \in T, y \neq x</tex> вероятность оказаться корнем после удаления равна <tex dpi = "150">\fracdfrac{1}{n - 1}</tex>.

<tex dpi = "150">\fracdfrac{1}{n - 1} \cdot \fracdfrac{1}{n} + \fracdfrac{1}{n - 1} \cdot \fracdfrac{n - 1}{n} = \fracdfrac{1}{n - 1}</tex>.

Очевидно, что время работы приведённых алгоритмов пропорционально глубине дерева. Но т.к. математическое ожидание глубины рандомизированного бинарного дерева поиска есть <tex>O (\log n)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} число вершин в дереве<ref>Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stei, "Introduction to Algorithms", Second Edition {{---}} Chapter 12.4</ref>, то математическое ожидание времени работы поиска, вставки и удаления {{---}} также <tex>O (\log n)</tex>. == См. также ==* [[2-3 дерево]]* [[B-дерево]]* [[Splay-дерево]]* [[АВЛ-дерево]]* [[Красно-черное дерево]]

==См. такжеПримечания==*[[Поисковые структуры данных]]*[[Дерево поиска, наивная реализация]]*[[Декартово дерево]]*[[Декартово дерево по неявному ключу]]<references />