264
правки
Изменения
м
Ажтаи (Ajtai), Комлос (Komlos) и Шимереди (Szemeredi) сконструировали сортирующую сеть на N входов глубины <texdpi = "200" > O(1 \log N) mid\mid \sum w_i U_i</tex>{{Утверждение|id=krit_dol3|statement=Критерии Делоне для ребер и треугольников равносильны.|proof=[[Файл:dol3.png|400px|thumb|right|]]Из треугольника в ребра: если для каждого треугольника выполнен критерий, то для каждого ребра можно рассматривать плоскость при они не углублялись в исследование значения константы, получавшейся любом треугольнике при правильном соблюдении необходимой ассимптотикиребре. Впоследствии Патерсон выяснил, что Обратно: Рассмотрим треугольник <tex> O(\log N) ABC</tex> , для каждого из ребра можно заменить на провести плоскость и они образуют трехмерный угол, снаружи которого нет точек. В пересечении угла и плосокости <tex> c\log_2 N </tex> с константой приблизительно равной <tex> 6100 ABC</tex>образуется тетраэдр. Здесь будет описана более поздняя реализация, которая включает Если в себя меньшую константу <tex>c</tex>нем есть точки, а именното точки есть внутри треугольника, будет доказано, что для любого целого числа тогда это не триангуляция <tex>N\implies</tex> такого,что точек в тетраэдре нет <tex>N \ge 2^{78}implies</tex> существует сортирующая сеть на плоскостью <tex>NABC</tex> входов, такая, что глубина в худшем случае будет можно отделить пространство с точками <tex>1830 \log_2 N - 58657 implies</tex>выполняется глобальный критерий.}}Будем называть '''хорошими''' те рёбра, для которых выполняется локальный критерий Делоне.{{Лемма|about=4|id=fliplemmasphere|statement=Из двух рёбер, которые можно провести для пары треугольников, как минимум одно хорошее.|proof=}}
Основными составяющими этой конструкции будут сортирующие сети на <tex>M</tex> входов, такие ,что <tex>M</tex> относительно мало. Мы назовем их <tex>M</tex>{{nohate2}}{{wasted}}{{под кат|title = Заголовок блока |content = Содержимое |frame-style = border:1px solid Plum |title-style = color:black;background-color:lavender;font-weight:bold |content-style = color:black;background-color:ghostwhite;text-сортировщикамиalign:center |footer = См. [[другая статья|другую статью]] Для любых выбранных положительных целых чисел <tex>M</tex> |footer-style = background-color:lightgray;text-align:right}}{{Задача|definition= Есть один станок и <tex>Nn</tex> таких что работ. Для каждой работы заданы время выполнения <tex> N \ge Mp_i,</tex>, конструкция будет включать в себя дедлаин <tex>Nd_i</tex> проводов, и будет сделана из <tex>M</tex>-сортировщиков, глубина которых в худшем случае стоимось выполнения этой работы <tex>(48 + о(1))w_i \log_MN + 115</tex> при <tex>M \to \infgeqslant 0</tex>.(Стоит отметить, что асимптотическое Необходим минимизировать <tex>o(1)</tex> здесь относится к <tex>M</tex>, а не к <tex>N</tex>). == Представление в виде дерева и разделители == Сначала введем все необходимые понятия для построения сортирующей сети. {{Определение|definition='''Идеальным разделителем''' будем называть сеть, выходные провода которой разделены на K блоков одинакового размера, таких, что принимая на вход любые <tex>a\sum w_i U_i</tex> значений, сеть размещает первые <tex>a/k</tex> минимальные по величине ключи в первый блок, следующие <tex>a/k</tex> по величине ключи – во второй, и т.д.
Эти идеальные разделители могут быть использованы как модули для построения сортирующей сети на <tex>N</tex> входов, где <tex>N = k^d</tex> для некоторого положительного числа d. Такая сеть будет представлять собой композицию сетей <tex>N_0, N_1, N_2 \dots N_{d-1}</tex>, где <tex>N_t</tex> – парраллельная композиция <tex>k^t</tex> идеальных разделителей одинакового размера. <tex>k^{d - t}</tex> Выходных проводов уровня <tex>N_t</tex> разделены на <tex>k</tex> блоков одинакового размерв и каждый из этих блоков формирует вход для идеального разделителя из N_{t+1}.
Можно рассмотреть другую интерпретацию этой конструкции. k^d входных данных мы будем рассматривать как листья полного k-ичного дерева глубины d; каждый модуль(разделитель) из N_t будем считать узлом, находящимся на высоте t в нашем дереве. Будем считать, что в каждый момент времени t = 0, 1, 2, ... в - 1 входные провода распределены по всему уровню t нашего дерева. В то же время, каждый узел х на t уровне принимает k^{d - t} проводов и эти провода затем используются как вход для идеального разделителя который разбивает их на k блоков одинакового размера в промежуток времени между t и t + 1. Выходные провода из j получившегося блока идут в j ребенка вершины x. К моменту времени d каждый лист дерева содершит в себе только один провод, а этот провод содержит в себе значение, которое и приписывается к листу.
К сожалению, эта схема описывает сортирующую сеть глубины <tex>\Omega((\log_k N)(\log_m N)) </tex>: каждый идеальный разделитель на а проводов, если его делать из М-разделителей, должен иметь глубину более чем <tex>\log_M(\dfrac{k-1}{k}a). (Чтобы осознать это, заметим, что для каждого выхода y должно быть более чем <tex>\dfrac{k -1}{k}a</tex> входов x , таких, что ключ мог бы дойти от x до y). К счастью, схему можно переделать так, чтобы она описывала сортирующую сеть глубины <tex>O(\log_M N)</tex> : идеальные разделители можно заменить на более слабые модули константной глубины,чья слабость будет компенсироваться более сложным перемещением ключей через дерево.
Слабые модули мы назовем сепараторами. У каждого такого сепаратора есть а выходных проводов, которые делятся на блоки <tex> F_1, B_1, B_2, \dots, B_k, F_2 </tex> так, что <tex> |F_1| = |F_2|</tex> <tex> |B_1| = |B_2| = \dots = |B_k| </tex>;
Как правило, "обрамляющие блоки" <tex>F_1</tex> и <tex>F_2</tex> гораздо меньше всех остальных. В каком-то смысле, можно сказать, что сепаратор аппроксимирует идеальный разделитель. Тогда будем измерять точность аппроксимации величинами <tex> \delta_F, \varepsilon_F </tex> и <tex>\varepsilon_B</tex>. Сортирующая сеть, с такими же выходными проводами как и наш сепаратор, принимая на вход I, состоящее из a отдельных проводов, распределяет соответствующие <tex>I_j</tex> в выходные блоки <tex>B_j</tex>. Сераратор же распределяет вход <tex>I</tex> таким образом, что 1) для каждого <tex> j = 1, 2, \dots, k, </tex> не более <tex>\varepsilon_B a</tex> ключей из <tex>I_j</tex> не попадут в <tex>B_j</tex>.
2)для каждого целого j такого, что <tex>1\le j\le \delta_F|F_i|</tex>не более <tex>\varepsilon_F j</tex> из <tex>j</tex> самых маленьких чисел могут не попасть в <tex>F_1</tex> и не более <tex>\varepsilon_F j</tex> из <tex>j</tex> самых больших чисел могут не попасть в <tex>F_2</tex>
Что касается перемещения значений в дереве, то в момент времени <tex>t = 0</tex> все <tex>k^d</tex> проводов входят в корень. Между временами <tex> t</tex> и <tex>t + 1</tex> каждый узел <tex>x</tex>, в который входят какие-нибудь провода, использует эти а проводов как вход для сепаратора, с разумно выбранным размером для выходных блоков. Провода из каждого выходного блока <tex>B_j</tex> посывлаются в <tex>j</tex>того сына узла <tex>x</tex>а провода попавшие в <tex>F_1</tex> или <tex>F_2/tex> посылаются обратно к родителю <tex>x</tex>. (Если <tex>x</tex>. - корень, то <tex>F_1</tex> и <tex>F_2</tex> должны быть пустыми. Так как <tex>F_1</tex> и <tex>F_2</tex> сравнительно маленькие, то большинство значений провалится ниже к листам дерева; так как сепаратор не идеальный, то некоторые ключи могут быть посланы вниз в неправильном направлениии. Свойство 1) гарантирует, что очень малое количество собъется с пути, а свойство 2) гарантирует, что большинство из этих ключей вернутся назад и смогут исправить свое положение позже.
== Конструкция сети ==
Пускай число детей у каждой вершины <tex>k</tex> будет степенью двойки, и число входных ключей - <tex> N = k ^ d </tex>. В любой момент времени <tex>t</tex> все <tex>N</tex> проводов распределены внутри дерева таким образом, что число проводов, содержащихся в вершине <tex>x</tex> зависит только от времени <tex>t</tex> и глубины <tex>i</tex> на которой находится вершина <tex>x</tex>. Тогда пускай <tex>a(i, t)</tex> будет описывать это число. Значение <tex>a(i, t)</tex> зависит от двух параметров <tex>A</tex> и <tex>\nu</tex>, таких, что <tex>\nu < 1 </tex> и <tex>A\nu > 1</tex>
В самом начале, число проводов, входящих в корень :
<tex>a(0, 0) = N</tex>
При переходе к <tex>t = 1</tex> корень делит <tex>N</tex> проводов на <tex>k</tex> групп и отправляет их своим <tex> k </tex> детям:
<tex>a(1, 1) = N/ k</tex>
При переходе к <tex>t = 2</tex> каждый узел, находящийся на 1 уровне отправляет <tex>N\nu / Ak^2 </tex> своих <tex>N/k</tex> проводов обратно в корень и распределяет оставшиеся провода равномерно среди детей :
<tex> a(0, 2) = \dfrac{\nu}{Ak}N</tex>
<tex> a(2, 2) = \dfrac{Ak - \nu}{Ak^3}N</tex>
Обозначим <tex>\alpha (t)</tex> и <tex>\omega (t)</tex> - верхний и нижний уровни, соответственно, такие что на на них содержатся непустые узлы на момент времени <tex>t</tex>. Иначе говоря, <tex>\alpha (t)</tex> - это наименьшее <tex>i</tex>, такое что
<tex>a(i, t) \neq 0</tex>, а <tex>\omega (t)</tex> - это наибольшее <tex>i</tex>, такое что
<tex>a(i, t) \neq 0</tex>
Так получаем, что
<tex>\alpha (0) = \omega (0) = 0; \quad \alpha (1) = \omega (1) = 1; \quad \alpha (2) = 0 \omega (2) = 2; </tex>
Значения <tex>\alpha (t)</tex> и <tex>\omega(t)</tex> расходятся в момент <tex>t = 2</tex>и сойдутся, когда перемещение значений по сети и их сортировка будет окончена.
Запишем
<tex>\alpha^*(t) = \dfrac{t\log \dfrac{1}{\nu} - \log N + \log(2A\nu k^3)}{\log A}</tex>
и
<tex>\omega^*(t) = \dfrac{t\log \dfrac{1}{\nu} + \log(A\nu k)}{\log Ak}</tex>
Пускай <tex>\alpha(t)</tex> будет наименьшим неотрицательным челым числом, таким что
<tex>\alpha(t) \ge \alpha^*(t),\quad \alpha (t)\equiv t\mod 2 </tex>
Пускай <tex>\omega(t)</tex> будет наименьшим челым числом, таким что
<tex>\omega(t) \ge \omega^*(t),\quad \omega (t)\equiv t\mod 2 </tex>
Поскольку <tex>A\nu \ge 1 </tex> получаем, что <tex>\alpha^*(t + 1) \le \alpha^* (t) + 1, \omega^*(t + 1) \le \omega^* (t) </tex> для любого <tex>t</tex> и поэтому
<tex> |\alpha(t + 1) - \alpha(t) | = 1, \quad |\omega(t + 1) - \omega(t)| = 1 </tex>
для любого <tex>t</tex>.
Нижнее значение может уменьшаться и увеличиваться, но в среднем оно спадает со скоростью <tex>\log\dfrac{1}{\nu} </tex> уровней на каждые <tex> \log(Ak) </tex> итераций. Верхнее же значение первые <tex>\log N/\log\dfrac{1}{\nu} </tex> итераций колеблется между значениями 0 и 1 ,а дальше начинает так же уменьщаться со скоростью <tex>\log\dfrac{1}{\nu}</tex> уровней на каждые <tex>\log(A)</tex> итераций. Обозначим за <tex>t_f </tex> время, когда верхнее и нижнее значения совпадут: <tex>t_f </tex> - это наибольшее целое положтельное число такое, что:
<tex> \alpha(t) < \omega(t)</tex> <tex> 1 < t < t_f </tex>
Также
<tex> \alpha(t_f) = omega(t_f) </tex>
(Это будет понятно из дальнейшего изложения. Так же будет проверено, что общее значение <tex> \alpha(t_f)</tex> и <tex>omega(t_f) </tex> меньше, чем <tex>d</tex>)
<tex> c(i, t) = \dfrac{N}{A\nu k} A^i\nu ^i </tex>
Значение <tex> c(i, t) </tex> можно рассматривать как вместимость узла на <tex> i </tex> уровне во время <tex> t </tex>: для любого <tex> t</tex>, такого, что <tex> 1 < t < t_f </tex> имеем
<tex> \dfrac{a(\alpha(t), t)}{c(\alpha(t), t)} = 1 </tex>,
<tex> \dfrac{a(i, t)}{c(i, t)} = 1 - \dfrac{1}{A^2 k^2} </tex> где
<tex> \alpha(t) < i < \omega(t) </tex>
и
<tex> i \equiv t \mod 2 </tex>
<tex> a(\omega(t),t) = Nk ^{-\omega(t)} - dfrac{c(\omega(t), t)}{A^2k^2}</tex>
(Если
<tex> i \not\equiv t \mod 2</tex> тогда
<tex> a(i, t) = 0 </tex>) Начиная с
<tex> N k ^{-\omega(t)} \le c(\omega(t), t) < A^2k^2Nk^{-\omega(t)}), </tex>
имеем
<tex> 0 < \dfrac{a(\omega(t), t)}{c(\omega(t), t)} \le 1 - \dfrac{1}{A^2k^2} </tex>
Начиная с ==Решение==<tex>c(\alpha(t), t) \ge 2k^2 /tex> мы имеем <tex>c(i, t) \ge 2A^2k^2 </tex> когда <tex>i\ge \alpha(t) + 2 </tex>. Это следует из того, что все<tex> a(i, t) </tex> целыеПрименим для решения данной задачи [[Динамическое программирование|динамическое программирование]].
Чтобы как-то перераспределить провода между временами Обозначим <tex>T = \sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>.Для всех <tex>t= 0, 1, \ldots, T </tex> и <tex>t + j = 1 , \ldots, n</tex> каждый узел на уровне i посылает будем рассчитывать <tex>\piF_j(i, t) </tex> значений своим родителям {{---}} значение целевой функции, при условии, что были рассмотрены первые <tex>j</tex> работ и общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, не превышает времени <tex>t</tex>.#Если <tex>0 \chileqslant t \leqslant d_j </tex> и работа <tex>j</tex> успевает выполниться вовремя в расписании, соответствующем <tex>F_j(it)</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j) </tex> значений каждому из своих , иначе <tex>kF_j(t) = F_{j- 1}(t) + w_i</tex> детей. #Если <tex>2 t > d_j</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j}(d_j)</tex>, поскольку все работы с номерами <tex>j = 1, \le t ldots, j</tex>, законченные позже, чем < t_f tex> d_j \geqslant \ldots \geqslant d_1 </tex>, то будут выполнены с опозданием.
<tex> \pi(\omega(t),t) =\begin{cases}\dfrac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(\omega(t),t),&\text{ $\omega(t + 1)>\omega(t)$,}\\\alpha(\omega(t),t),&\text{если $\omega(t + 1)<\omega(t)$,}\end{cases}</tex>=Доказательство корректности и оптимальности==
<tex> \chi(\alpha(t),t) =\begin{cases}\dfrac{1}{k}c(\alpha(t),t),&\text{ $\alpha(t + 1)>\alpha(t)$,}\\\dfrac{Ak - \nu}{Ak^2}c(\alpha(t),t),&\text{если $\alpha(t + 1)<\alpha(t)$,}\end{cases}</tex> <tex> \chi(i,t) = \dfrac{Ak - \nu}{Ak^2}c(i,t),\qquad\quad \text{если $\alpha(t) < i < \omega(t)$,}</tex> <tex> \pi(\omega(t),t) Источники информации =\begin{cases}\alpha(\omega(t + 1), t + 1)), &\text{ $\omega(t + 1)>\omega(t)$,}\\0,&\text{если $\omega(t + 1)<\omega(t)$,}\end{cases}</tex> Отметим, что для все <tex>\pi(i, t)</tex> и <tex>\chi(i, t)</tex> целые: в частности, если <tex>\alpha(t + 1) < \alpha(t)</tex>, то<tex>c(\alpha(t), t) = (A/\nu)c(\alpha(t + 1), t + 1) \ge 2Ak^2/\nu</tex> Если сепараторы, используемые для построения сети достаточно хорошие, то(мы проверим чуто позже) существует такое целое число <tex>\gamma </tex>, не превосходящее <tex>\alpha(t_f) </tex>, но при этом отличающееся от <tex>\alpha(t_f) </tex>не более чем на константу, не зависящую от <tex>N</tex>, такое, что для любого узла <tex>x</tex>, находящегося на уровне <tex>\gamma </tex>, все ключи, являющиеся потомками узла <tex>x</tex> в момент времени <tex>t_f</tex> адресуются толко к ключам, являющимся потомками <tex>x</tex>* P. Следовательно, построеная сеть может быть дополнена до сортирующей единственным слоем из параллельных сортирующих сетей, каждая из которых будет содержать <tex>k^{d - \gamma} </tex> входных проводовBrucker. Далее мы будем использовать следующие утверждения Лемма 3.1 Если <tex>\alpha(i, t) \neq 0</tex> тогда <tex> \sum\limits^d_{j=0} k^{j-i}a(j, t) =\begin{cases}Nk^{-i}, &\text{ $i = \alpha(t)$,}\\Nk^{-i} - \dfrac{c(i,t)}{A^2k^2}, &\text{ $i > \alpha(t)$,}\end{cases}</tex> ДоказательствоЭто утверждение следует из того<tex>\sum\limits^d_{j=0} k^ja(j, t) = N </tex> Непосредственно, когда <tex> i = \alpha(t) </tex> и подставляется <tex> a(j,t) =\begin{cases}0, &\text{ $j \not\equiv i \mod 2$,}\\c(j, t), &\text{ $j = \alpha(t)$,}\\Scheduling Algorithms (1 - \dfrac{1}{A^2k^2}2006)c(j, t) &\text{ $\alpha(t) < j < i, \quad j \equiv i \mod 2$}\end{cases}</tex> где <tex> c(j, t) = c(i5th edition, t)A^{j-i}</tex> при <tex>i\ge\alpha(t)+2</tex>стр. лемма 3.2 Если <tex>\alpha(t + 1) > \alpha(t) </tex> тогда <tex>\alpha(t) = 0</tex> или <tex>c(\alpha(t),t)\le Ak^2/\nu</tex> ДоказательствоЕсли <tex>\alpha(t+1) > \alpha(t) > 0</tex>, тогда <tex>\alpha(t) 26 - 1 < \alpha^*(t + 1) </tex>, а значит и <tex>c(\alpha(t),t) < 2Ak^2/\nu</tex>. == Анализ работы сети == == Мусор ==28
Нет описания правки
}}
Отсюда, получим соотношение:<p><tex> \pi(\alphaF_j(t),t) =\left \{\begin{casesarray}0,&\text{если $ll} \alphamin(t + F_{j-1)>\alpha}(t-p_j)$,}\\\dfracF_{\nu}{AKj-1}c(a(t),t+ w_j), & 0 \leqslant t \leqslant d_j \text{если $\alphaF_j(t + 1d_j)>\alpha(, & d_j < t)$.}< T\end{casesarray}\right.
</tex>
</p>
В качестве начальных условий следует взять <tex>F_j(t) = \infty </tex> при <tex>t < 0, j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>F_0(t) = 0 </tex> при <tex>t \geqslant 0 </tex>.
Ответом на задачу будет <tex>F_n(d_n)</tex>.
Приведенный ниже алгоритм вычисляет <tex>F_j(t)</tex> для <tex>j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>t = 0,\ldots, d_j </tex>. За <tex>p_{max}</tex> обозначим самое большое из времен выполнения заданий.
отсортиртировать работы по неубыванию времен дедлайнов <tex> d_i</tex> <tex>t_1</tex> = <tex>r_1</tex> '''for''' <tex>t = -p_{max}</tex> '''to''' <tex>-1</tex> '''for''' <tex>j = 0</tex> '''to''' <tex>n</tex> F_j(t) = \piinfty '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>T</tex> F_0(i,t) = \dfrac0 '''for''' <tex>j = 1</tex> '''to''' <tex>n</tex> '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>d_j</tex> '''if''' <tex> F_{j-1}(t) + w_j < F_{A\nu k j- 1}(t-p_j) </tex> <tex> F_j(t) = F_{A^2k^2j-1}c(i,t),\qquad\quad + w_j </tex> '''else''' <tex> \textF_j(t) = F_{если $\alphaj-1}(t-p_j) < i /tex> '''for''' < \omegatex>t = d_j + 1</tex> '''to''' <tex>T</tex> <tex> F_j(t)$,= F_{j}(d_j) </tex>
Время работы данного алгоритма {{---}} <tex>O(n \sum\limits_{i=1}^n p_i)</tex>.
Для того, чтобы найти само расписание, по доказанной ниже лемме, нам достаточно найти множество работ, которые будут выполнены с опозданием. Это может быть сделано следующим способом:
t = d_n
L = \varnothing
'''for''' <tex>j = n</tex> '''downto''' <tex>1</tex>
<tex>t = \min(t, d_j)</tex>
'''if''' <tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex>
<tex> L = L \cup \{j\} </tex> </tex>
'''else'''
<tex> t = t - p_j </tex>
{{Лемма
|id=lemma1
|statement= Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов <tex>d_i</tex>.
Тогда существует оптимальное расписание вида <tex>i_1, i_2, \ldots, i_s, i_{s+1}, \ldots, i_n </tex>, такое, что <tex>i_1 < i_2 < \ldots < i_s </tex> {{---}} номера работ, которые успеют выполниться вовремя, а <tex>i_{s+1}, \ldots, i_n </tex> {{---}} номера просроченных работ.
|proof= Пусть у нас есть некоторое оптимальное раписание <tex>S</tex>. Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ.
#Если работа с номером <tex> i</tex> выполнится в <tex>S</tex> с опозданием, то переставим эту работу в конец. При этом, так как работа просрочна в оптимальном расписании <tex>S</tex>, при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции.
#Если работы с номерами <tex>i</tex> и <tex>j</tex> в расписании <tex>S</tex> выполняются вовремя, но при этом <tex>d_i < d_j </tex>, но <tex>j</tex> стоит в <tex>S</tex> раньше <tex>i</tex>. Тогда переставим работу с номером <tex>j</tex> так, чтобы она выполнялась после работы <tex>i</tex>. Таким образом, каждая из работ, находившихся в <tex>S</tex> между <tex>j</tex> и <tex>i</tex>, включая <tex>i</tex>, будет выполняться в новом расписании на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше. Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания:
#*Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в расписании <tex>S</tex>, не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время.
#*Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие в исходным выбором <tex>S</tex>, как оптимального решения.
#*Поскольку <tex>d_i < d_j </tex> и работа <tex>i</tex> будет заканчиваться на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше, то стоящая сразу послее нее работа <tex>j</tex> тоже будет успевать выполниться.
}}
==См. также ==
* [[Классификация задач]]
* [[1ripipsumwu|<tex> 1 \mid r_i,p_i=p \mid \sum w_i U_i</tex>]]
* [[1pi1sumwu|<tex>1 \mid p_{i} = 1 \mid \sum w_{i}U_{i}</tex>]]
* [[R2Cmax|<tex>R2 \mid \mid C_{max}</tex>]]
