Изменения

Положим <tex>G_1</tex> &mdash; компонента реберной двусвязности графа <tex>G'</tex> являющийся висячей вершиной дерева <tex>T</tex>, a <tex>e</tex> &mdash; мост в <tex>G'</tex> инцидентный <tex>G_1</tex> в <tex>T</tex>. <tex>G_1</tex> планарен по условию теоремы, т.к. компоненты реберной двусвязности графа <tex>G'</tex> совпадают с компонентами реберной двусвязности графа <tex>G</tex>. Далее рассмотрим подграф <tex>G_2</tex> графа <tex>G'</tex>, соответствующий дереву <tex>T\backslash \{G_1\}</tex>. Поскольку <tex>G_1</tex> &mdash; висячая вершина <tex>T</tex>, то <tex>T\backslash \{G_1\}</tex> связен, и, очевидно, также как и <tex>T</tex> является подграфом графа компонент реберной двусвязности <tex>G</tex>. Итак <tex>G_2</tex> планарен по предположению индукции, т.к. <tex>|V(T\backslash \{uG_1\})| = |VT| - 1 = m - 1 < m</tex>.

Уложим <tex>G_2</tex> на сфере и уложим <tex>G_1</tex> на плоскости так, чтобы ребро <tex>e_1 \in G_1</tex> смежное с <tex>e</tex> в G' (если таковое имеется) оказалось на границе внешней грани (по [[#l2|лемме II]] это возможно). Если такого ребра <tex>e_1</tex> не существует, значит компонента реберной двусвязности <tex>G_1</tex> &mdash; тривиальный граф, в таком случае возьмем любую укладку <tex>G_1</tex> на плоскости. Пусть <tex>u\in G_2</tex> {{---}} вершина инцидентная <tex>e</tex>. Сожмем часть плоскости, содержащую укладку <tex>G_1</tex>, так, чтобы она вмещалась в одну из граней укладки <tex>G_2</tex> смежную с <tex>u</tex>. Проведем жорднанову кривую, соответствующую ребру <tex>e</tex>, от вершины <tex>u</tex> к инцидентоной инцидентной <tex>e</tex> вершине графа <tex>G_1</tex> так, чтобы она не пересекалась с укладками <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>. Мы получили укладку графа <tex>G'</tex> на сфере, а значит (по [[#l1|лемме I]]) <tex>G'</tex> планарен, следовательно предположение индукции верно.