33
правки
Изменения
Нет описания правки
<includeonly>[[Категория: В разработке]]</includeonly>{{Задача
|definition = Есть несколько станков с разной скоростью выполнения работ и несколько работ с заданным временем выполнения.<br>Цель {{---}} составить такое расписание, чтобы суммарное время окончания всех работ было минимальным.}}
== Решение =====Алгоритм решения===Пусть <tex> i_1, i_2, \cdots ldots i_r </tex> последовательность работ, выполняемых на станке с номером <tex> j </tex>. Тогда вклад этих работ в целевую функцию будет равен <tex> p_{i1}\cfrac{r}{s_j} + p_{i2}\cfrac{r-1}{s_j} + \cdots ldots + p_{ir}\cfrac{1}{s_j} </tex>. По [[Задача_о_минимуме/максимуме_скалярного_произведения|Отсюдатеореме о минимуме/максимуме скалярного произведения]] видно, что сумма оптимальна, когда последовательность <tex> p_{ij} </tex> не возрастает.Теперь введем неубывающую последовательность <tex> t_1, t_2 ... t_n </tex>, которая состоит из <tex> n </tex> минимальных элементов из множества <tex> \left\{\cfrac{1}{s_1}, \cfrac{1}{s_2} \cdots ldots \cfrac{1}{s_m}, \cfrac{2}{s_1}, \cfrac{2}{s_2} \cdots ldots \cfrac{2}{s_m}, \cfrac{3}{s_1} \cdots ldots \right\}</tex> (для поиска <tex> t_1, t_2 ... t_n </tex> создадим [[Приоритетные очереди|приоритетную очередь]], положим в нее числа <tex> \cfrac{1}{s_1}, \cfrac{1}{s_2} \cdots ldots \cfrac{1}{s_m}</tex> и будем последовательно извлекать <tex>n</tex> минимумов. После извлечения очередного минимума вида <tex>\cfrac{i}{s_j}</tex> добавим в очередь число <tex>\cfrac{i + 1}{s_j}</tex> и продолжим извлечение). Тогда <tex> t_i</tex> показывает на каком станке и какой по счету с конца должна выполняться работа с номером <tex>i</tex> в отсортированном по длительности списке работ. Сопоставляя работы и <tex> t_i</tex> составляем расписание.
=== Корректность ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
# Докажем правильность выбора мест работ. Станок, на котором выполняется работа, и номер работы на этом станке с конца определяют коэффициент перед длительностью выполнения <tex> p_i\cfrac{t}{s_j} </tex>, тут <tex> t</tex> {{---}} номер работы с конца, а <tex>j</tex> {{---}} номер станка. Именно с таким коэффициентом работа войдет в целевую функцию. Мы выбираем минимальные <tex>n</tex> коэффициентов, следовательно, взяв хотя бы один другой коэффициент, мы увеличим время работы.
# Докажем, что работы надо сопоставлять в порядке не убывания. Предположим, у нас есть коэффициенты <tex> t_i </tex> и <tex> t_j </tex>, такие что <tex> t_i \le leqslant t_j </tex> и работы <tex> p_k \ge geqslant p_l </tex>, и мы сопоставили <tex> t_i </tex> с <tex> p_l </tex>, а <tex>t_j</tex> с <tex>p_k</tex>. Тогда, если мы поменяем работы местами, то значение целевой функции станет меньше на <tex> p_k(t_j - t_i)+p_l(t_i-t_j) = (p_k - p_l)(t_j-t_i) \ge geqslant 0</tex>. Видно, что результат не ухудшится.
}}
===Время работы===
Начальная сортировка работ и [[Двоичная куча#Построение кучи за O(n)|инициализация приоритетной очереди]] занимают <tex>O(n\log{n} + m)</tex> времени. Затем происходит выбор минимальных коэффициентов, посредством приоритетной очереди время работы составит <tex>O(n\log{m})</tex>. Итого суммарное время работы <tex> O(n(\log{n}+\log{m}) + m)</tex>.
