403
правки
Изменения
→Собственно интерполяция
{{В разработке}}
== Собственно Задача интерполяция ==Пусть есть числа {{Определение|definition=Система узлов — набор чисел <tex>x_1 < x_2 < x_3 < \ldots < x_n</tex> и <tex>y_1, y_2, y_3, \ldots ,y_n</tex> (''система узлов'').}}
Дана система узлов <tex>x_1 < x_2 < x_3 < \ldots < x_n</tex> и <tex>y_1, y_2, y_3, \ldots ,y_n</tex>. Требуется найти полином <tex>P_n</tex> степени не выше <tex>n</tex> такой, что <tex>P_n(x_k) = y_k</tex>.
Будем искать его в форме Лагранжа, хотя имеется ряд равносильных представлений, например, в
Очевидно, что если такой полином существует, то только один.
Будем искать его в форме Лагранжа. Для этого построим ''фундаментальные полиномы'' . {{Определение|definition=Фундаментальные полиномы <tex>\Phi_j(x)</tex> степени не выше <tex>n</tex>— полиномы, отвечающие заданной
системе узлов <tex>x_0 < x_1 < \ldots < x_n</tex> такие, что
<tex>
\end{aligned}\right.
</tex>.
}}
Для его построения обозначим за <tex>\omega_n(x) = \prod\limits_{j = 0}^n (x - x_j)</tex>. Это полином степени <tex>n + 1</tex>.
Составим выражение <tex>\frac{\omega_n(x)}{(x - x_j) \cdot \omega_n'(x_j)}</tex>, <tex>x \ne x_j</tex>. В этом случае дробь корректно определена.если При <tex>x \to x_j</tex>. Получаем получаем неопределённость <tex>\frac00</tex>. Раскроем её по правилу Лопиталя: <tex>\frac{\omega'_n(x)}{\omega_n'(x_j)} = 1</tex> при <tex>x \to x_j</tex>.Тогда доопределим по непрерывности дробь единицей. Но при <tex>x \ne x_j</tex> — это полином <tex>n</tex>-й степени. Значит,
<tex>\Phi_j(x) = \frac{\omega_n(x)}{(x-x_j) \cdot \omega_n'(x_j)}</tex>.
