403
правки
Изменения
Нет описания правки
== Определения ==
Будем рассматривать отрезок <tex>[a; b]</tex>, <tex>x_1, x_2, x_3, \ldots x_n \in [a; b]</tex> и коэффициенты <tex>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n > 0</tex>
такие, что <tex>\sum\limits_{i = 1}^n \alpha_i = 1</tex>.
{{Определение
|definition=
Выпуклая комбинация чисел <tex>x_k</tex> — это <tex>\bar x = \sum\limits_{i = 1}^n \alpha_kx_k</tex>
}}
<tex>\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} \alpha_k = 1</tex>, обозначим за <tex>s_n = \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k</tex>
Пусть <tex>\beta_k = \frac{\alpha_k}{s_n}</tex>. Тогда <tex>\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} = 1</tex>. Тогда получаем: ???? <tex>\sum\limits_{k = 1}^{n} \beta_k = 1</tex>.
<tex>
Значит, шаг индукции проделан, нерваенство доказано для произвольного <tex>n</tex>.
Применим линейную интерполяцию (в случае <tex>2</tex> узлов) чтобы выяснить связь между выпуклостью и дифферинцируемостью дифференцируемостью функции <tex>f</tex>.
Будем считать, что <tex>f</tex> дифференцируема столько раз, сколько нам нужно. Имея <tex>2</tex> узла на <tex>\langle a; b\rangle</tex> и <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, <tex>y_1 = f(x_1)</tex>,
составим <tex>L_n(x)</tex>:
