Изменения
→Плотность в L^p множества ступенчатых функций
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <texdpi=160> {} = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{EkE_k}</tex>
<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>
в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;,sup} |f| < +\infty</tex><br><!--
-->Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex><br><!--
--><tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;,sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия?<br><!--
--><tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex><br><!--
