Изменения
→Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n \colon X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде <br>
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex><br>
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\displaystyle\int |f-f_n|d\mu \to 0, \int_X f_n \to \int_X f</tex>
|proof=
Легко видеть, что <tex>f, f_n</tex> — суммируемые.<br>
<tex>
h_n := \sup(|f_n - f|, |f_{n+1} - f|, \dotsc) \\
h_n \geqslant h_{n+1} \geqslant \dotsb; \qquad |f_n - f| \leqslant 2g \Rightarrow h_n \leqslant 2g
</tex>
Кстати, <tex>\lim h_n = \varlimsup |f_n - f| = 0</tex> при п.в. <tex>x</tex>.
Рассмотрим ф-ии <tex>2g - h_n \geqslant 0</tex> — возр.
: <tex>\lim \displaystyle\int_X (2g - h_n) = \int_X \lim(2g - h_n) = 2 \int_X g</tex>
С другой стороны,
: <tex>\lim \displaystyle\int_X (2g - h_n) = \lim\biggl(2 \int_X g - \int_X h_n\biggr) \Rightarrow \int_X h_n \to 0 \Rightarrow \int_X |f_n - f| \leqslant \int_X h_n</tex>
}}
