Изменения

[[Отображения|Функция ]] <tex>\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+</tex> называется модулем непрерывности, если:

# <tex>\omega (t)</tex> не убываетнеубывает

1) {{Утверждение|statement=<tex>\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow </tex>: <tex> \omega (nt) \le n \omega (t)</tex><br />|about=свойство №1|proof=Доказательство ведётся ведется по индукции. Для <tex>n = 1</tex> неравенство тривиально.<br />Пусть утверждение верно для <tex>n</tex>. Тогда <tex>\omega((n + 1) \cdot t) = \omega(nt + t) \le \omega(nt) + \omega(t) \le n \omega(t) + \omega(t) = (n + 1) \cdot \omega (t)</tex>, ч. т. д.}} {{Утверждение|statement=<tex>\forall \lambda > 0</tex>: <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex>|about=свойство №2|proof=Доказательство: <tex>\lambda \le \lfloor\lambda\rfloor + 1</tex>.<br /><tex>\omega(\lambda t) \le \omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) \cdot t) \le (\lfloor\lambda\rfloor + 1)\cdot \omega (t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex>}} {{Утверждение|statement=Пусть для некоторой функции <tex>\omega</tex> выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция <tex>\frac{\omega(t)}t</tex> не возрастает. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.|about=свойство №3|proof=Видно, что требуется доказать только полуаддитивность.Т. к. <tex>t_1, t_2 < t_1 + t_2</tex>, то <tex>\frac{\omega (t_1)}{t_1}, \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2}</tex>.Тогда <tex>\omega(t_1) + \omega(t_2) = t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2)</tex>.}} {{Утверждение|statement=Пусть <tex>\omega</tex> удовлетворяет аксиомам 1 и 2 определения и является выпуклой вверх. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.|about=свойство №4|proof=Докажем, опираясь на свойство 3. Покажем, что <tex>\frac{\omega(t)}{t}</tex> убывает.<br /><tex>0 < t_1 < t_2</tex>, <tex>t_1 = \left(1 - \frac{t_1}{t_2}\right) \cdot 0 + \frac{t_1}{t_2} \cdot t_2</tex> - выпуклая комбинация 0 и требовалось доказать<tex>t_2</tex>.<br />Из выпуклости следует: <tex>\omega(t_1) \ge \left( 1 - \frac{t_1}{t_2} \right) \cdot \omega(0) + \frac{t_1}{t_2} \cdot \omega(t_2)</tex>. Но <tex>\omega(0) = 0</tex>, следовательно, <tex>\frac{\omega(t_1)}{t_1} \ge \frac{\omega(t_2)}{t_2}</tex>, то есть, функция <tex>\frac{\omega(t)}{t}</tex> является убывающей.}} == Примеры ==

2) По свойству четыре видно, что можно построить сколь угодно много модулей непрерывности. Например, <tex>\forall omega (t) = \lambda frac{t}{t + 1}</tex> 0является модулем непрерывности.<br /tex> <tex>\omega'(\lambda t) = \le frac{(1 + \lambdat) - t}{(t + 1) ^2} = \omega frac{1}{(1 + t)^2} > 0</tex>- функция возрастает.<br /><tex>\omega''(t) = -\frac{2}{(t + 1)^3} < 0</tex> - функция является выпуклой вверх.

Доказательство: Из этого факта следует неравенство <tex>\lambda frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} \le leq \lfloorfrac{t_1}{1 + t_1} + \lambda\rfloor frac{t_2}{1 + 1t_2}</tex>

== Теорема о выпуклом модуле непрерывности ==Класс модулей непрерывности обозначим <tex>\omega(\lambda t)\:\:\le\:\:\omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) t)\ \ \le\ \ (\lfloor\lambda\rfloor + 1)\omega (t)\ \ \le\ \ (1 + \lambda) Omega</tex>. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим <tex>\omega (t)Omega^*</tex>.

3) Пусть для некоторой функции <tex>\omega</tex> выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция <tex>\frac{\omega(t)}t</tex> убывает. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль Важное значение имеет теорема о выпуклом модуле непрерывности.<br />Видно, что треубется доказать только полуаддитивность.<tex>\omega(t_1) + \omega(t_2) - t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2}</tex>, <tex>t_1 + t_2 > t_1, t_2</tex>.<br /><tex>\frac{\omega (t_1)}{t_1}, \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2}</tex>.<tex>\omega(t_1) + \omega(t_2) \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2)</tex>.которая основывается на следующем факте:

4) {{Утверждение|statement=Пусть имеется семейство выпуклых функций <tex>F_\omegaalpha(t), \alpha \in A</tex> удовлетворяет аксиомам 1 и 2 определения и является выпуклой вверх. Тогда <tex>f(t) = \inf\limits_{\omegaalpha \in A} f_{\alpha} (t)</tex> &mdash; также выпуклая функция.|proof=Требуется показать, что::<tex>\beta f(t_1) + (1 - модуль непрерывности.\beta) \cdot f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2), \qquad \beta \in [0; 1]</tex><br />ДокажемТак как все функции семейства выпуклы вверх, опираясь на пункт 3. Покажем, что то для любого <tex>\alpha \in A</tex> верно::<tex>\fracbeta f_{\omegaalpha}(t_1) + (t1 - \beta)\cdot f_{\alpha}(t_2) \le f_{t\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)</tex> убывает.<br />Но по определению <tex>0 < t_1 < t_2f(t) \le f_{\alpha}(t)</tex>, следовательно,:<tex>\beta f(t_1 = \left) + (1 - \fracbeta) \cdot f(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1+ (1 - \beta) \cdot t_2)</tex>.<br />Переходя в правой части неравенства к нижней грани множества <tex>F</tex>, получаем искомое неравенство.}} {{t_2}Теорема|about=о выпуклом модуле непрерывности|statement=Пусть <tex>\omega \in \Omega</tex>. Тогда существует <tex>\omega^* \in \Omega^*</tex> такая, что <tex>\forall \lambda, t \ge 0</tex>:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \rightlambda) \cdot 0 \omega(t)</tex>|proof=По свойству 2 имеем <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \frac{t_1}{t_2} lambda) \cdot t_2\omega (t)</tex> для всех <tex>\lambda</tex> - выпуклая комбинация 0 и <tex>t_2t \ge 0</tex>.Обозначим <tex>u = \lambda t</tex>, тогда <tex>\lambda = \frac ut<br /tex>.Из выпуклости следует: Перепишем равенство <tex>\omega(t_1u) \ge \leftle ( 1 - + \fracut) \cdot \omega (t)</tex>. Определим теперь функцию <tex>\omega^*(u) = \inf\limits_{t_1}{t_2t > 0} \right,(1 + \frac ut) \cdot \omega(0t)</tex>.Рассмотрим семейство функций <tex> \tilde \omega(u) _t = (1 + \frac{t_1}{t_2} ut)\cdot \omega(t_2t), t > 0</tex>. Каждая функция из этого семейства выпукла как линейная. Но тогда <tex>\omega^*(u)</tex> выпукла вверх по доказанному выше факту. Докажем теперь, что <tex>\omega^*(u)</tex> - модуль непрерывности. Действительно,#<tex>\omega^*</tex> выпукла вверх#<tex>\omega^*(0) = \inf\limits_{t > 0}\,{\omega(t)} = 0</tex>(т. к. <tex>\lim \limits_{t \to +0} \, следовательно\omega(t) = 0</tex> )#<tex>\omega^*</tex> неубывает. В самом деле, <tex>u_1 \le u_2 \Rightarrow (1 + \frac{u_1}t)\cdot\omega(t_1t)}\leq (1 + \frac{t_1u_2} t)\cdot\omega(t)</tex>. Переходя к нижним граням обеих частей последнего неравенства, получаем <tex>u_1 \le u_2 \Rightarrow \omega^*(u_1) \le \omega^*(u_2)</tex>. По свойству №2 модулей непрерывности <tex>\ge omega(u) \le (1 + \frac{ut) \cdot \omega (t)</tex>. Рассматривая точные нижние грани обеих частей и используя определение функции <tex>\omega^*(u)</tex>, получим требуемые в условии теоремы неравенства. Итак, построенная нами функция <tex>\omega^*(t_2t)</tex> является модулем непрерывности, выпукла вверх и удовлетворяет указанным в условии теореме неравенствам.}} == Модуль непрерывности функции ==Пусть <tex>f</tex> - функция, непрерывная на <tex>[a; b]</tex>. Пусть <tex>h \ge 0</tex>. Положим:<tex>\omega(f, h) = \sup\limits_{t_2|x'' - x'| \le h}\,|f(x'') - f(x')|</tex>. Можно проверить, то естьчто представленная функция является модулем непрерывности. В силу построения такая функция называется модулем непрерывности функции <tex>f</tex>. Рассмотрим множество выпуклых вверх модулей непрерывности, мажорирующих модуль непрерывности функции <tex>f</tex>::<tex>\omega^* \in \Omega^*: \omega(f, функция h) \le \omega^*(h) \qquad \forall h \ge 0</tex>. Опеределим <tex>\fracomega^*(f, h) = \inf\limits_{\omega^* \in \Omega^*(tf)}{t}\,\omega^*(h)</tex>, где <tex>\Omega^*(f)</tex> - класс выпуклых мажорант функции <tex>f</tex> (то есть, все модули непрерывности, удовлетворяющие написанному выше неравенству). Очевидно, что мы получаем выпуклый вверх модуль непрерывности. Его принято называть выпуклым модулем непрерывности функции <tex>f</tex> является убывающей. По доказанной выше теореме получаем следующее следствие::<tex>\omega(f, \lambda h) \le \omega^* (f, \lambda h) \le (1 + \lambda)\cdot\omega(f, h) \qquad \forall\lambda, h \ge 0</tex>, а также::<tex>\omega(f, h) \le \omega^* (f, h) \le 2 \omega(f, h)</tex> [[Категория:Математический анализ 1 курс]]