Изменения
Нет описания правки
<tex>y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)</tex>, где <tex>h = min(a, \frac{b}{M})</tex>.
|proof=Мамой клянусь. А теперь попытаемся доказать. <br>
Переформулируем задачу Коши следующим образом: <tex>y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y)dxd\bar{x}</tex><br>Будем строить решение задачи Коши итеративным методом: <tex>y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{n-1}(\bar{x}))dxd\bar{x}</tex>. Далее возможны два случая: <br> 1) <tex>y_{n}(x) \equiv y_{0} \:\: \Rightarrow \:\: f(x, y_{0}) = 0 \:\: \Rightarrow \:\: y_{0} -</tex> решение.<br>
2) <tex>f(x, y_{0}) \neq 0:</tex> предварительно докажем, что:<br>
<tex>a) \:\:\: y_{n}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex><br>
<tex>d) \:\:\: y(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex><br>
<tex>e) \:\:\: \left | y(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex><br>
<br>а), б) База: <tex> \:\: y_{1}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{0}(\bar{x}))d\bar{x} \: .</tex> По теореме Барроу <tex>y_{1}(x) \: - </tex> непрерывна при <tex>\left | x - x_{0} \right | \leqslant a.</tex><br> <tex>\left | y_{1}(x) - y_{0} \right | \leqslant \left | \int_{x_{0}}^{x} f(\bar{x}, y_{0})d\bar{x} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{0})\right |d\bar{x} \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh \leqslant b.</tex><br>переход доказывается аналогично.<br> в) составим последовательность частичных сумм: <tex>y_{0} + (y_{1} - y_{0}) + (y_{2} - y_{1}) + ... + (y_{n} - y_{n - 1})</tex><br><tex>\left | y_{1} - y_{0} \right | \leqslant M \left | x - x_{0} \right |</tex><br><tex>\left | y_{2} - y_{1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{1}) - f(\bar{x}, y_{0}) \right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{2} - y_{1}\right |d\bar{x}</tex>}}
