Изменения
Нет описания правки
<tex>e) \:\:\: \left | y(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex><br>
<br>а), б) База: <tex> \:\: y_{1}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{0}(\bar{x}))d\bar{x} \: .</tex> По теореме Барроу <tex>y_{1}(x) \: - </tex> непрерывна при <tex>\left | x - x_{0} \right | \leqslant a.</tex><br> <tex>\left | y_{1}(x) - y_{0} \right | \leqslant \left | \int_{x_{0}}^{x} f(\bar{x}, y_{0})d\bar{x} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{0})\right |d\bar{x} \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh \leqslant b.</tex><br>переход доказывается аналогично.<br>
в) Для доказательства равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса. Составим функциональный ряд <tex>y_{0} + (y_{1} - y_{0}) + (y_{2} - y_{1}) + ...</tex> и замажорируем его элемент элементом слагаемое слагаемым сходящейся числовой последовательности.<br>
<tex>\left | y_{1} - y_{0} \right | \leqslant M \left | x - x_{0} \right |</tex><br>
<tex>\left | y_{2} - y_{1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{1}) - f(\bar{x}, y_{0}) \right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{1} - y_{0}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex>lM \int_{x_{0}}^{x}\left | \bar{x} - x_{0} \right | d\bar{x} = lM \frac{\left | x - x_{0} \right |^{2}}{2}</tex><br>
