Изменения

Рассмотрим грамматику вида:

$

R \to L

$

{{Лемма

|id=lemmaclosure

Другими словами, при построении замыкания вторая часть добавленных пунктов должна принадлежать $FIRST(\beta\alpha)$

|proof= Рассмотрим пункт вида $[A\rightarrow\alpha\cdot B\beta, a]$ в множестве пунктов, допустимых для некоторого активного префикса $\gamma$. Тогда существует правое порождение $S\Rightarrow^{*}\delta Aax\Rightarrow\delta\alpha B\beta ax$, где $\gamma=\delta\alpha$. Предположим, что $\beta ax$ порождает строку терминалов $by$. Тогда для каждой продукции вида $\forall{B\rightarrow\eta}\exists{\eta}$ мы имеем порождение $ S\Rightarrow^{*}\delta Bby\Rightarrow\delta\eta by$. Таким образом, $[B\rightarrow\cdot\eta,b]$ является допустимым для $\gamma$. Заметим, что $b$ может быть первым терминалом, порожденным из $\beta$, либо, возможно что $\beta$ порождает $\epsilon$ слева: $\beta ax\Rightarrow^{*}by$, следовательно $b=a$. Таким образом, $b\in FIRST(\beta ax)$. Поскольку $x$ не может содержать первый терминал из $by$, то $FIRST(\beta ax)=FIRST(\beta a)$