Изменения
→Линейное уравнение первого порядка
==Линейное уравнение первого порядка==
{{Определение|definition= уравнение вида <tex>\frac{dy}{dx} = p(x) * y + q(x)(5)</tex> называется линейным уравнением <tex>I</todotex> порядка}} {{Определение|definition= Если <tex>q(x) = 0</tex>, то уравнение <tex>(5) </tex> называется однородным линейным уравнением <tex>I</tex> порядка}}
===Способ решения методом Бернулли===
Пусть <tex> y(x) = u(x) * v(x)</tex>, тогда:
<tex> u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) = p(x) * u(x) * v(x) + q(x) </tex>
<tex>
u'(x) * v(x) + u(x) * [ v'(x) - p(x) * v(x)] = q(x)
</tex>, назовем это уравнение <tex>(5a)</tex>
Пусть <tex> v(x) </tex> такого, что:
<tex> v'(x) - p(x) * v(x) = 0 </tex>
Тогда:
<tex>\frac{dv(x)}{dx} - p(x) v(x) = 0 </tex>. Домножим на <tex> \frac{dx}{dv(x)} </tex>
<tex>\frac{dv}{v} - p(x) dx = 0 </tex>. Отсюда получаем:
<tex>ln(v) = \int p(x)dx + C</tex>
<tex>v(x) = e^{C+ \int p(x)dx} = C * e^{\int p(x)dx}</tex>
Пусть <tex> C = 1</tex>. Тогда из <tex>(5a)</tex> получаем:
<tex> u'(x) * e^{\int p(x)dx} = q(x) </tex>
<tex> u(x) = \int q(x) * e^{\int p(x)dx} dx + C_{1} </tex>. Тогда
<tex>y(x) = e^{\int p(x)dx} * [ \int q(x) * e^{\int p(x)dx} dx + C_{1}] </tex>
===Способ решения методом Лагранжа===
==Уравнение в полных дифференциалах==
==Приводящееся уравнение к общим дифференциалам==
