Изменения
Нет описания правки
# Граф называется вершинно k-связным, если он остаётся связным после удаления любых не более чем (k - 1) вершин. Доказать или опровергнуть, что в вершинно k-связном графе любые k вершин лежат на простом цикле.
# Пусть $G$ - связный граф. Обозначим как $\kappa(G)$ - минимальное число вершин, которое необходимо удалить, чтобы граф потерял связность. (для полного графа это число равно n - 1), $\lambda(G)$ - минимальное число рёбер, которое необходимо удалить, чтобы граф потерял связность, $\delta(G)$ - минимальную степень в вершины в графе $G$. Докажите, что для любых $a$, $b$, $c$, таких что $1 \le a \le b \le c$, существует граф $G$, такой что $\kappa(G) = a$, $\lambda(G) = b$, $\delta(G) = c$.
# Рассмотрим неориентированный граф $G$. Запустим dfs, затем ориентируем рёбра дерева dfs $T$ от корня, а остальные - к корню. Доказать, что компоненты сильной связности в получившемся графе равны компонентам рёберной двусвязности в исходном графе
# Разработать алгоритм поиска компонент рёберной двусвязности, используя ровно один запуск dfs.
# Разработать алгоритм поиска компонент вершинной двусвязности, используя ровно один запуск dfs.
# Пусть $T$ - дерево dfs. Укажите способ за $O(E)$ посчитать число пар $(e_1, e_2)$, таких что 1) $e1 \in T$; 2) $e2\not\in T$; 3) граф $G$ после удаления рёбер $e_1$ и $e_2$ - не связен.
# Пусть $T$ - дерево dfs. Укажите способ за $O(E)$ посчитать число пар $(e_1, e_2)$, таких что 1) $e1 \in T$; 2) $e2 \in T$; 3) граф $G$ после удаления рёбер $e_1$ и $e_2$ - не связен.
# В первом издании Кормена была ошибка. Там было сказано, что вершина v есть точка сочленения тогда и только тогда, когда (v - корень И у v ≥ 2 сына) ИЛИ (v - не корень И up[v] ≥ enter[v]). Приведите контрпример.
# Приведите пример графа с отрицательными рёбрами, на котором алгоритм Дейкстры работает неверно.
# Пусть веса рёбер не обязательно неотрицательны, но отрицательных циклов нет. Добавим в алгоритм Дейкстры следующее: если производится успешная релаксация по ребру $vx$ и $x \in U$, то вешина $x$ удаляется из $U$. Докажите, что, если этот алгоритм находит кратчайшие пути в графе.
# Приведите пример графа, в котором алгоритм из предыдущего задания рабоатает экспоненциальное время.
# Предложите граф, в котором алгоритм Дейкстры делает $\Omega(E)$ успешных релаксаций
