403
правки
Изменения
Теперь здесь написан уже не полный бред, а что-то более адекватное. Переписано доказательство теоремы
== Дифференцируемость сложной функции ==
<tex>\Delta y = \Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0</tex>.
То, что из дифференцируемости следует непрерывность позволяет подставлять доопределить по непрерывности <tex>\Delta x = 0</tex> и считать, что
<tex>
o(\Delta x) = \left\{
(это что?)
По определению <tex>o(\Delta x)</tex>, <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: \ 0 < |\Delta x| < \varepsilon \Rightarrow\left|\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right| \leq \iffvarepsilon.</tex> Последнее неравенство можно переписать как<tex>|o(\Delta x)| \leq \varepsilon |\Delta x|
</tex>
{{Теорема
Пусть <tex>y = f(x)</tex> дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, <tex>y_0 = f(x_0)</tex>. Пусть <tex>z = g(y)</tex> дифференцируема в <tex>y_0</tex>. Тогда в некоторой окрестности <tex>x_0</tex> корректно определена сложная функция <tex>z = g(f(x))</tex> и её производная равна <tex>z' = g'(y_0)f'(x_0)</tex>.
|proof=
<tex>g</tex> определена в окрестности точки <tex>y_0</tex>. Так как <tex>df \Delta y \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex> и <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, топри <tex>\Delta x \to 0 </tex>, <tex>f(x_0 + \Delta x)</tex> принадлежит окрестности точки <tex>y_0</tex>.
Тогда функция <tex>z = ??????, x = x_0 + \Delta g(f(x))</tex> при <tex>x = x_0 + \Delta x, \ \Delta x \to 0</tex> корректно определеноопределена.
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</tex>
<tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = </tex>(по определению дифференциала для <tex>g(y)</tex>)<tex>g'(y_0 )(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) = </tex>(по определению дифференциала для <tex>f(x)</tex>)<tex>g'(y_0)f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex>
Итого получаем:<tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =</tex><tex>g'(y_0) \cdot f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex>
Устремляя <tex>\Rightarrow g'(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x + g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y) \Rightarrow to 0</tex>, получаем <tex>dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x</tex>
Для полного счастья осталось доказать, что <tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>. Докажем это
<tex>z' = g'(y_0) f'(x_0)</tex>
Для доказательства теоремы осталось доказать тот факт, что <tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>. {{Утверждение|statement=<tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>|proof=По определению <tex>o(\Delta y)</tex>, получаем:<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \ |\Delta y| < \delta \Rightarrow \left|\frac{o(\Delta y)}{\Delta y}\right| \leq \varepsilon</tex>
Последнее неравенство равносильно следующему: <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \, |\Delta y| < \delta \Rightarrow |o(\Delta y)| < \leq \varepsilon |\Delta y|</tex>
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) = \Delta x(f'(x_0) + o(1))\Delta x</tex>, где </tex>o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to </tex>, что стремится к <tex>0</tex>, так как это бесконечно малая функция.
Подберём <tex>\delta_1 > 0: \ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| < \delta\Rightarrow |o(\Delta y)| < \varepsilon |\Delta y| = c \varepsilon \Delta x |f'(x_0) + o(1)|</tex>. Тогда получаем, что<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta_1 > 0: \, |\Delta x| < \delta_1, \Rightarrowo(\Delta y) \leq M\varepsilon |\delta Delta x| \Rightarrowo(\Delta y) = o(\Delta x)
</tex>
}}
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
