== Свойства модулей непрерывности ==
1) {{Утверждение|statement=<tex>\forall n \in \mathbb{N}</tex> верно <tex> \omega (nt) \le n \omega (t)</tex><br />|about=свойство №1|proof=Доказательство ведется по индукции. Для <tex>n = 1</tex> неравенство тривиально. Пусть утверждение верно для <tex>n</tex>. Тогда <tex>\omega((n + 1) \cdot t)\:\:=\:\:\omega(nt + t)\:\:\le\:\:\omega(nt) + \omega(t)\:\:\le\:\:n \omega(t) + \omega(t)\:\:=\:\:(n + 1) \cdot \omega (t)</tex>, ч. т. д.}}
2) {{Утверждение|statement=<tex>\forall \lambda > 0</tex> верно <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex><br />|about=свойство №2|proof=Доказательство: <tex>\lambda \le \lfloor\lambda\rfloor + 1</tex>.<br /><tex>\omega(\lambda t)\:\:\le\:\:\omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) \cdot t)\:\:\le\:\:(\lfloor\lambda\rfloor + 1)\cdot \omega (t)\:\:\le\:\:(1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex>}}
3) {{Утверждение|statement=Пусть для некоторой функции <tex>\omega</tex> выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция <tex>\frac{\omega(t)}t</tex> убывает. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.<br />|about=свойство №3|proof=
Видно, что треубется доказать только полуаддитивность.
Т. к. <tex>t_1, t_2 < t_1 + t_2</tex>, то <tex>\frac{\omega (t_1)}{t_1}, \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2}</tex>.
Тогда <tex>\omega(t_1) + \omega(t_2) = t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2) </tex>.<br/>}}
4) {{Утверждение|statement=Пусть <tex>\omega</tex> удовлетворяет аксиомам 1 и 2 определения и является выпуклой вверх. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.<br />|about=свойство №4|proof=Докажем, опираясь на пункт свойство 3. Покажем, что <tex>\frac{\omega(t)}{t}</tex> убывает.<br />
<tex>0 < t_1 < t_2</tex>, <tex>t_1 = \left(1 - \frac{t_1}{t_2}\right) \cdot 0 + \frac{t_1}{t_2} \cdot t_2</tex> - выпуклая комбинация 0 и <tex>t_2</tex>.<br />
Из выпуклости следует: <tex>\omega(t_1) \ge \left( 1 - \frac{t_1}{t_2} \right) \cdot \omega(0) + \frac{t_1}{t_2} \cdot \omega(t_2)</tex>. Но <tex>\omega(0) = 0</tex>, следовательно, <tex>\frac{\omega(t_1)}{t_1} \ge \frac{\omega(t_2)}{t_2}</tex>, то есть, функция <tex>\frac{\omega(t)}{t}</tex> является убывающей.
}}
== Примеры ==
