1679
правок
Изменения
м
То есть, одно и то же множество можно по-разному превращать в метрическое пространство. ==Открытый шар==Для метрических пространств основное значение имеет множество, являющееся открытым шаром(<tex> V_r </tex>).
Нет описания правки
{{В разработке}}
==Метрика и метрическое пространство==
Пусть X - абстрактное множество.
#<tex> \rho_1 (x, y) = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k - y_k| </tex>
#<tex> \rho_2 (x, y) = \max\limits_{k = 1 \dots n} |x_k - y_k| </tex>
То есть, одно и то же множество можно по-разному превращать в метрическое пространство.
{{Определение
: <tex> r = min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара
}}
==Открытое множество==
{{Определение
Свойства открытых множеств:
# <tex> X = \varnothing \in \tau </tex> - пустое множество открыто
# <tex> G_{\alpha} \in \tau, \alpha \in A \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_{\alpha} \in \tau </tex> - очевидно
# <tex> G_1 \dots G_n \in \tau \Rightarrow \bigcap\limits_{j = 1}^n G_j \in \tau </tex>
Если в X выделен класс множеств <tex> \tau </tex>, удовлетворяющий всем трем свойствам, то любое множество такого класса - открытое, а пара <tex>(X, \tau)</tex> - '''топологическое пространство(ТП)'''. В этом смысле МП - частный случай ТП.
==Замкнутое множество==
F является замкнутым в МП<tex>(X, \rho)</tex>, если <tex> \overline F = X \backslash F </tex> - открыто.
Применяя закон де Моргана, видим что <tex> \tau </tex> двойственен классу замкнутых множеств.
Свойства замкнутых множеств:
# <tex> X = \varnothing </tex> - замкнуто
# <tex> F_{\alpha} </tex> - замкнуто, <tex> \alpha \in A \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} F_{\alpha} </tex> - замкнуто
# <tex> F_1 \dots F_n </tex> - замкнуты <tex> \Rightarrow \bigcap\limits_{j = 1}^n F_j </tex> - замкнуто
{{Определение
|definition=
<tex> x_n \rightarrow x </tex> в МП<tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \rho(x_n, x) = 0</tex> , или
<tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N \Rightarrow \rho(x_n, x) < \varepsilon </tex>
}}
\lim_{x \rightarrow 0
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
