Изменения
→Просмотр таблицы маршрутизации
==Определения==
{{Определение
|definition ='''<tex>j</tex>Таблица маршрутизации {{--м списком ситуаций''' <tex>D_j</tex> для входной цепочки <tex>w = w_1 w_2 ... w_n</tex>, где <tex>0 \leqslant j \leqslant n</tex>, называется множество ситуаций <tex>\lbrace [A \rightarrow \alpha \cdot \beta , i] \mid \alpha \Rightarrow^* w_{i+1} ... w_j; \exists \gamma, \delta : S \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* w_1...w_i \rbrace</tex>. То есть <tex>\gamma \alpha </tex> выводит часть <tex>w</tex> c первого по <tex>j</tex>-й символ.}} {{Лемма|statement = <tex>(\exists \alpha : [S \rightarrow \alpha \cdot, 0] \in D_n) \Leftrightarrow w \in L(G)</tex>.|proof = Поскольку <tex>S \Rightarrow^* \gamma S \delta</tex> (при <tex>\gamma = \delta = \varepsilon</tex>)таблица, состоящая из сетевых маршрутов и предназначенная для определения <tex>D_n</tex> получаем, что <tex>([S \rightarrow \alpha \cdot, 0] \in D_n) \Leftrightarrow (S \Rightarrow \alpha \Rightarrow^* w_1 ... w_n = w)</tex>наилучшего пути передачи сетевого пакета.
}}
{{Определение
|definition =Последовательность списков ситуаций <tex>D_0Сетевой маршрут {{---}} запись таблицы маршрутизации, D_1содержащая в себе адрес сети назначения (destination), ..маску сети назначения (netmask), D_n</tex> называется <b>списком разбора</b> для входной цепочки <tex>w</tex>шлюз (gateway), интерфейс (interface) и метрику (metric).
}}
== Алгоритм Эрли ==Чтобы воспользоваться леммой, необходимо найти <tex>D_n</tex> для <tex>w</tex>. Алгоритм Эрли является [[Динамическое программирование|динамическим алгоритмом]]: он последовательно строит список разбора, причём при построении <tex>D_j</tex> используются <tex>D_0, \ldots, D_{j}</tex> (то есть элементы списков с меньшими номерами и ситуации, содержащиеся в текущем списке на данный момент). Алгоритм основывается на следующих трёх правилах:# Если <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot w_{j} \beta, i] \in D_{j-1}</tex> (где <tex>w_j</tex> — <tex>j</tex>-ый символ строки), то <tex>[A \rightarrow \alpha w_{j} \cdot \beta, i] \in D_j</tex>.# Если <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, i] \in D_j</tex> и <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, k] \in D_i</tex>, то <tex>[A \rightarrow \alpha B \cdot \beta, k] \in D_j</tex>.# Если <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, i] \in D_{j} </tex> и <tex>(B \rightarrow \eta) \in P </tex>, то <tex>[B \rightarrow \cdot \eta, j] \in D_{j}</tex>. === Псевдокод ===Для простоты добавим новый стартовый вспомогательный нетерминал <tex>S'</tex> и правило <tex>(S' \rightarrow S)</tex>. '''function''' <tex>\mathtt{earley}(G, w)</tex>: <font color=green>// Инициализация </font> <tex> D_{0} = \lbrace [S' \rightarrow \cdot S, 0] \rbrace </tex> '''for''' i = 1 '''to''' len(w) - 1 <tex>D_i</tex> = <tex>\varnothing </tex> <font color=green>// Вычисление ситуаций </font> '''for''' j = 0 '''to''' len(w) - 1 <tex>\mathtt{scan}(D, j, G, w)</tex> '''while''' <tex>D_j</tex> изменяется <tex>\mathtt{complete}(D, j, G, w)</tex> <tex>\mathtt{predict}(D, j, G, w)</tex> <font color=green>// Результат </font> '''if''' <tex>[S' \rightarrow S \cdot, 0] \in D_{len(w)} </tex> '''return''' ''True'' '''else''' '''return''' ''False'' <font color=green>// Первое правило </font> '''function''' <tex>\mathtt{scan}(D, j, G, w)</tex>: '''if''' <tex>j</tex> == <tex>0</tex> '''return''' '''for''' <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot a \beta, i] \in D_{j - 1} </tex> '''if''' <tex>a</tex> == <tex>w_{j - 1}</tex> <tex>D_{j}</tex> <tex> \cup</tex>= <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot a \beta, i]</tex> <font color=green>// Второе правило </font> '''function''' <tex>\mathtt{complete}(D, j, G, w)</tex>: '''for''' <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, i] \in D_{j} </tex> '''for''' <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, k] \in D_{i} </tex> <tex>D_{j}</tex> <tex> \cup</tex>= <tex>[A \rightarrow \alpha B \cdot \beta, k]</tex> <font color=green>// Третье правило </font> '''function''' <tex>\mathtt{predict}(D, j, G, w)</tex>: '''for''' <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, i] \in D_{j} </tex> '''for''' <tex>(B \rightarrow \eta) \in P </tex> <tex>D_{j}</tex> <tex>\cup</tex>= <tex>[B \rightarrow \cdot \eta, j]</tex> ==Корректность алгоритма=={{Теорема|statement = Приведенный алгоритм правильно строит все списки ситуаций. То есть алгоритм поддерживает инвариант <tex> [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in D_{j} \Longleftrightarrow \exists \delta \in \Sigma \cup N : ((S \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta) \wedge A \Rightarrow^* w_i...w_{j-1})</tex>|proof = =====<tex>\Longrightarrow</tex>=====Докажем индукцией по исполнению алгоритма.<br/>База {{---}} <tex>[S' \rightarrow \cdot S, 0] \in D_0</tex>. Осталось разобраться, в результате применения какого правила ситуация <tex> [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> попала в <tex>D_{j}</tex><br/> 1. Включаем по правилу <tex> \mathtt{scan}</tex>.<br/>Это произошло, если <tex> \alpha = \alpha ' a</tex>, <tex>a = w_{j-1}</tex> и <tex> [A \rightarrow \alpha ' \cdot a \beta, i] \in D_{j-1}</tex>.<br/>По предположению индукции <tex>S \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta</tex> и <tex>\alpha' \Rightarrow^* w_i...w_{j-2}</tex>, тогда в силу <tex>a = w_{j-1}</tex> получаем <tex>\alpha = \alpha ' a \Rightarrow^* w_i...w_{j-2}w_{j-1} = w_i...w_{j-1}</tex>.<br/>Таким образом условия: <tex>S \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta</tex> и <tex>\alpha \Rightarrow^* w_i...w_{j-1}</tex> выполняются. 2. Включаем по правилу <tex> \mathtt{predict}</tex>.<br/>По построению: <tex> \alpha = \varepsilon </tex> и <tex>i=j</tex>, что автоматически влечет второй пункт утверждения.<br/>Кроме того <tex>\exists i' \le i</tex> и ситуация <tex>[A' \rightarrow \alpha ' \cdot A \delta ', i'] \in D_i</tex>, из чего по предположению индукции следует S \Rightarrow^* w_0...w_{i'-1} A' \delta ''</tex> и <tex> \alpha ' \Rightarrow^* w_{i'}...w_{i-1})Получаем, что <tex>S \Rightarrow^* w_0...w_{i'-1} A' \delta '' \Longrightarrow S \Rightarrow^* w_0...w_{i'-1} \alpha' A \delta' \delta '' \Longrightarrow S \Rightarrow^* w_0...w_{i'-1} w_{i'}...w_{i-1} A \delta' \delta ''\Longrightarrow S \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta</tex>, что и требовалось. =====В каждый список попадут все ситуации, которые ему принадлежат:=====Для всех наборов <tex>\tau = \langle \alpha, \beta, \gamma, \delta, A, i , j \rangle</tex> нужно доказать, что, если <tex> S' \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}, (A \rightarrow \alpha \beta) \in P, \alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex>, то алгоритм добавит <tex> [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> в <tex> I_{j}</tex>. ''Рангом набора'' <tex> \tau </tex> называется <tex> \tau_{S'}(\tau) + 2(j + \tau_{\gamma}(\tau) + \tau_{\alpha}(\tau))</tex>, где <tex>\tau_{S'}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>S' \Rightarrow^* \gamma A \delta </tex>, <tex>\tau_{\gamma}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>\gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}</tex>, <tex>\tau_{\alpha}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>\alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex>. Докажем утверждение индукцией по рангу набора.<br/>База: если ранг <tex>\tau</tex> равен 0, то <tex>\tau_{S'} = \tau_{\gamma} = \tau_{\alpha} = j = i = 0</tex>. Значит, <tex>A = S'</tex>, <tex>\alpha = \gamma = \delta = \varepsilon </tex>, <tex>\beta = S </tex>. При инициализации такая ситуация <tex>[S' \rightarrow \cdot S, 0]</tex> будет добавлена в <tex>I_0</tex>.<br/>Индукционный переход:пусть ранг <tex>\tau</tex> равен <tex>r > 0</tex>, пусть для всех наборов с меньшими рангами утверждение верно. Докажем для набора <tex>\tau</tex>. Для этого рассмотрим три случая: 1. <tex>\alpha</tex> оканчивается терминалом.<br/><tex>\alpha = \alpha' c</tex>. <tex>\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}</tex>, значит <tex>c = a_{j}</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau' = \langle \alpha', a_{j} \beta, \gamma, \delta, A, i, j-1 \rangle </tex>. <tex>(A \rightarrow \alpha' a_{j} \beta) \in P</tex>, следовательно ранг <tex>\tau'</tex> равен <tex>r - 2</tex>, так как <tex>\tau_{S'}(\tau) = \tau_{S'}(\tau'), \tau_{\gamma}(\tau) = \tau_{\gamma}(\tau'), \tau_{\alpha}(\tau) = \tau_{\alpha}(\tau')</tex>. Значит, по предположению <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}</tex>, и <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex> по правилу <tex>(1)</tex>. 2. <tex>\alpha</tex> оканчивается нетерминалом.<br/> <tex>\alpha = \alpha' B</tex>. <tex>\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}</tex>, значит <tex>\mathcal {9} k</tex> такое, что <tex>\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}, B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>.<br/>Рассмотрим набор <tex>\tau' = \langle \alpha', B \beta, \gamma, \delta, A, i, k \rangle</tex>, его ранг меньше <tex>r</tex>, следовательно <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}</tex> по предположению.<br/>Пусть <tex>B \Rightarrow \eta</tex> — первый шаг в кратчайшем выводе <tex>B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau'' = \langle \eta, \varepsilon, \gamma \alpha', \beta \delta, B, k, j \rangle</tex>. <tex>S \Rightarrow^* \gamma A \delta \Rightarrow \gamma \alpha' B \beta \delta</tex>, следовательно <tex>\tau_{S'}(\tau'') \leqslant \tau_{S'}(\tau) + 1</tex>.<br> Пусть длина кратчайшего вывода <tex>\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}</tex> равна <tex>n_1</tex>, а длина кратчайшего вывода <tex> B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex> равна <tex>n_2</tex>. Тогда <tex>\tau_{\alpha}(\tau) = n_1 + n_2</tex>. Так как <tex> B \Rightarrow \eta \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>, то <tex>\tau_{\alpha}(\tau'') = n_2 - 1</tex>. Очевидно, что <tex>\tau_{\gamma}(\tau'') = \tau_{\gamma}(\tau) + n_1</tex>. Тогда ранг <tex>\tau''</tex> равен <tex>\tau_{S'}(\tau'') + 2(\tau_{\gamma}(\tau'') + \tau_{\alpha}(\tau'') + j) \leqslant \tau_{S'}(\tau) + 1 + 2(\tau_{\gamma}(\tau) + n_1 + n_2 - 1 + j)</tex> <tex>= \tau_{S'}(\tau) - 1 + 2(\tau_{\gamma}(\tau) + \tau_{\alpha}(\tau) + j) < r</tex>. Значит, по предположению для <tex>\tau''</tex>, <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}</tex>. Из того, что <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}</tex> и <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}</tex>, по правилу <tex>(2)</tex> <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>. 3. <tex>\alpha = \varepsilon</tex>.<br/>В этом случае <tex>i = j, \tau_{\alpha}(\tau) = 0, (A \rightarrow \beta) \in P</tex>.<br/><tex>\tau_{S'}(\tau) \neq 0</tex> т.к. иначе <tex> \gamma = \varepsilon</tex>, следовательно <tex> \tau_{\gamma}(\tau) = 0, i = 0 </tex>, откуда <tex> r = 0</tex>, но <tex>r > 0</tex>.Т.к. <tex>\tau_{S'}(\tau) > 0</tex>, <tex> \exists B, \gamma', \gamma'', \delta', \delta'' : S' \Rightarrow^* \gamma' B \delta' \Rightarrow \gamma' \gamma'' A \delta' \delta''</tex>, где <tex>(B \rightarrow \gamma'' A \delta'') \in P</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau' = \langle \gamma'', A \delta'', \gamma', \delta', B, k, j \rangle</tex>, где <tex>k</tex> такое, что <tex>\gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k}, \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>.Пусть длина кратчайшего вывода <tex>\gamma' \Rightarrow^*a_{1}...a_{k}</tex> равна <tex>n_1</tex>, а длина кратчайшего вывода <tex> \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex> равна <tex>n_2</tex>.<br/>Найдём ранг <tex>\tau'</tex>. <tex>\tau_{S'}(\tau') = \tau_{S'}(\tau) - 1, \tau_{\gamma}(\tau') = n_1, \tau_{\alpha}(\tau') = n_2</tex>. <tex>\tau_{\alpha}(\tau) = 0, \tau_{\gamma}(\tau) = n_1 + n_2</tex>, следовательно ранг <tex>\tau'</tex> равен <tex>r - 1</tex>. Значит, по предположению <tex>[B \rightarrow \gamma'' \cdot A \delta'', k] \in I_{j}</tex>, следовательно по правилу <tex>(3)</tex> <tex>[A \rightarrow \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>.}} ==Примертаблицы маршрутизации==Построим список разбора для строки <tex>w = (a + a)</tex> в грамматике со следующими правилами:* <tex>S \rightarrow T + S</tex>;* <tex>S \rightarrow T </tex>;* <tex>T \rightarrow F * T</tex>;* <tex>T \rightarrow F</tex>;* <tex>F \rightarrow ( S )</tex>;* <tex>F \rightarrow a</tex>. {||-| {| classborder="wikitable1"|-!<tex>I_0</tex>|-|{|
|-
!Ситуация !! Из правилаDestination||Netmask||Gateway||Interface||Metric
|-
|<tex>[S' \rightarrow \cdot S, 0]</tex> .0.0.0||0.0.0.0|| 192.168.0.1||192.168.0.100||10
|-
|<tex>[S \rightarrow \cdot T + S, 127.0]</tex> .0.0||255.0.0.0||127.0.0.1||127.0.0.1|| 31
|-
|<tex>[S \rightarrow \cdot T, 192.168.0]</tex> .0||255.255.255.0||192.168.0.100||192.168.0.100|| 310
|-
|<tex>[T \rightarrow \cdot F * T, 192.168.0]</tex> .100|| 3255.255.255.255||127.0.0.1||127.0.0.1||10
|-
|<tex>[T \rightarrow \cdot F, 192.168.0]</tex> .1|| 3255.255.255.255|-|<tex>[F \rightarrow \cdot ( S ), 192.168.0]</tex> .100|| 3|-|<tex>[F \rightarrow \cdot a, 192.168.0]</tex> |.100| 3|}10
|}
==Описание компонентов=={{Определение|definition = Адрес сети назначения (Destination) {{---}} собственно, адрес конечного узла пути передачи сетевого пакета.}} {{Определение|definition = Маска сети назначения (Netmask) {{---}} битовая маска, определяющая, какая часть IP-адреса узла сети относится к адресу сети, а какая — к адресу самого узла в этой сети. В двоичной записи всегда выглядит как множество единиц в начале и нулей в конце.}} ===Пример получения адреса сети==={| class="wikitablesimple" border="1"
|-
!<tex>I_1</tex>||Двоичная запись||Десятичная запись
|-
|{IP-адрес||<tt>11000000 10101000 00000001 00000010</tt> ||192.168.1.2
|-
|-
|<tex>[F \rightarrow ( \cdot S ), 0]</tex> || 1Адрес сети|-| <textt>[S \rightarrow \cdot T + S, 1]11000000 10101000 00000000 00000000</textt> || 3|-|<tex>[S \rightarrow \cdot T, 1]</tex> || 3|-|<tex>[T \rightarrow \cdot F * T, 1]</tex> || 3|-|<tex>[T \rightarrow \cdot F, 1]</tex> || 3|-|<tex>[F \rightarrow \cdot ( S ), 1]</tex> || 3|-|<tex>[F \rightarrow \cdot a, 1]</tex> || 3|}192.168.0.0
|}
{{Определение| classdefinition ="wikitable"|-!<tex>I_2</tex>|-|Шлюз (Gateaway) {{||-!Ситуация !! Из правила|-|<tex>[F \rightarrow a \cdot, 1]</tex> || 1|-|<tex>[T \rightarrow F \cdot * T}} адрес узла в сети, 1]</tex> || 2|-|<tex>[T \rightarrow F \cdot на который необходимо отправить пакет, 1]</tex> || 2|-|<tex>[S \rightarrow T \cdot , 1]</tex> || 2|-|<tex>[S \rightarrow T \cdot + S, 1]</tex> || 2|-|<tex>[F \rightarrow ( S \cdot )следующий до указанного адреса назначения. Шлюзы бывают ''по умолчанию'', тогда значения адреса назначения и маски указываются как 0.0.0.0]</tex> || 2.|}|}
{{Определение|definition = Интерфейс (Interface) указывает, какой локальный интерфейс отвечает за достижение шлюза. Например, шлюз 192.168.0.1 (интернет-маршрутизатор) может быть достижим через локальную сетевую карту, адрес которой 192.168.0.100.|}}
{{Определение| classdefinition ="wikitable"|-!<tex>I_3</tex>|-|Метрика (Metric) {{||-!Ситуация !! Из правила|-|<tex>[S \rightarrow T + \cdot S, 1]</tex> || 1|-|<tex>[S \rightarrow \cdot T + S}} числовой показатель, 3]</tex> || 3|-|<tex>[S \rightarrow \cdot Tзадающий предпочтительность маршрута. Чем меньше число, 3]</tex> || 3|-|<tex>[T \rightarrow \cdot F * T, 3]</tex> || 3|-|<tex>[T \rightarrow \cdot F, 3]</tex> || 3|-|<tex>[F \rightarrow \cdot тем более предпочтителен маршрут. Интуитивно представляется как расстояние ( S необязательный параметр), 3]</tex> || 3|-.|<tex>[F \rightarrow \cdot a, 3]</tex> || 3|}|}
==Источники информации==
*[http://lpcs.math.msu.su/~sk/lehre/fivt2013/Earley.pdf Алексей Сорокин {{---}} Алгоритм Эрли]
* Ахо А., Ульман Д.{{---}} Теория синтакcического анализа, перевода и компиляции. Том 1. Синтаксический анализ. Пер. с англ. {{---}} М.:«Мир», 1978. С. 358 — 364.
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
[[Категория: Алгоритмы разбора]]
