Изменения

В некотором смысле, операции дифференцирования и взятия неопределённого интеграла взаимно обратны:

Имеются две стандартные формулы для неопределённых интегралов.

:<tex>(uv)' = u'v + uv'</tex>

:<tex>uv = \int (uv)'dx = \int u'v dx + \int uv' dx</tex>

:<tex>u'dx = du, \qquad v'dx = dv</tex>

:<tex>\int udv - uv - \int vdu</tex>

:<tex>F(x) = \int f(x)dx, \qquad x = \varphi(t), t = \varphi^{-1}(x)</tex>:

:<tex>G(t) = \int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt</tex>. Докажем, что <tex>F(x) = G(\varphi^{-1}(x))</tex>. Продифференцируем левую часть уравнения:

:<tex>(G(\varphi^{-1}(x)))' = G'(t)t' = f(\varphi(t))\varphi'(t)t'</tex>, но <tex>t' = \frac 1{\varphi'(t)}</tex>, следовательно, <tex>(G(\varphi^{-1}(x)))' = f(\varphi(t)) = f(x)</tex>, что и требовалось доказать.