1632
правки
Изменения
м
Иногда теорему называют теоремой о свадьбах.<references><ref name="Generalizing">Также теорема обобщается на граф, имеющий произвольное множество долей.</ref><ref name="Marriage">Иногда теорему называют теоремой о свадьбах.</ref></references>
rollbackEdits.php mass rollback
==Определения==
Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} [[Основные_определения_теории_графов#Двудольный_граф |двудольный граф]] . <ref name="Generalizing"/> <tex>L</tex> {{---}} множество вершин первой левой доли. <tex>R</tex> {{---}} множество вершин правой доли.
{{Определение
|id=def1.
{{Теорема
|id=th1.
|author=Холл<ref name="Marriage"/>
|statement=Полное паросочетание существует тогда и только тогда, когда для любого <tex>A \subset L </tex> выполнено <tex>|A| \leqslant |N(A)|</tex>.
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex> <br>
Очевидно, что если существует полное паросочетание, то для любого <tex>A \subset L </tex> выполнено <tex>|A| \leqslant |N(A)|</tex>. У любого подмножества вершин есть по крайней мере столько же ''соседей'' ("''соседи по парасочетанию"паросочетанию'').
<tex>\Leftarrow</tex> <br>
<u>'''''Индукционный переход'''''</u>
Пусть после <tex>k<n</tex> шагов построено паросочетание <tex>P</tex>. Докажем, что в <tex>P</tex> можно добавить вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex>, не насыщенную паросочетанием <tex>P</tex>. Рассмотрим множество вершин <tex>H</tex> — все вершины, достижимые из <tex>x</tex>, если можно ходить из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> только по ребрам из <tex>P</tex>, а из <tex>L</tex> в <tex>R</tex> по любым ребрам из <tex>G</tex>. Тогда в <tex>H</tex> найдется вершина <tex>y</tex> из <tex>R</tex>, не насыщенная паросочетанием <tex>P</tex>, иначе, если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex> (вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L</tex>), то для них не будет выполнено условие: <tex>|H_L| > \leqslant |N(H_L)|</tex>. Тогда существует путь из <tex>x</tex> в <tex>y</tex>, который будет удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex> (т.к из <tex>R</tex> в <tex>L</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание <tex>P</tex> вдоль этого пути, получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.
}}
# В <tex>H_R</tex> входят только насыщенные вершины.
# <tex>N(H_L) = H_R</tex>
# В <tex>H_L</tex> по крайней мере <tex>H_R+1</tex> вершин ("''соседи" '' по паросочетанию для каждой вершины из <tex>H_R</tex> и ещё одна вершина, которую пытаемся добавить).
Цепь <tex>{4, 7, 3, 8}</tex> является удлиняющей для текущего паросочетания.
Увеличив текущее парасочетание вдоль этой цепи, мы насытим вершину с номером <tex>4</tex>. ==См. также==* [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях]]* [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах]]* [[Связь вершинного покрытия и независимого множества]]
==Примечания==
==Источники информации==
