Изменения

|id=th1.

|statement=Кубический Пусть <tex>G</tex>{{---}}[[Отношение связности, компоненты связности#connected_graph | связный]] кубический граф, у которого в котором не более <tex>2</tex> [[Мост, эквивалентные определения | мостов]]. Тогда в <tex>G</tex> есть [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#perfect_matching | совершенное паросочетание]].|proof = Предположим, что совершенного паросочетания в <tex>G</tex> нет совершенного , тогда можно выбрать [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания#Tutt_set | множество Татта]] <tex>S \subset V(G)</tex>.  Пусть <tex>U_1, \ldots, U_n</tex> {{---}} все нечётные компоненты связности графа <tex>G \setminus S</tex>. <tex>m_i</tex> {{---}} количество ребёр <tex>G</tex>, содержит связывающих вершины <tex>U_i</tex> с вершинами <tex>S</tex>.  По предыдущей лемме, все <tex>m_i</tex> нечётны. Так как минимум не более чем два ребра графа <tex>G</tex> {{---}} мосты, то не более, чем два числа из <tex>m_1, \ldots, m_n</tex> равны <tex>1</tex>, остальные числа не менее <tex>3</tex> моста.  Так как <tex>S</tex> {{---}} множество Татта, то <tex>odd(G \setminus S) > |S|</tex>. Так как количество вершин кубического графа <tex>G</tex> чётно, мы имеем <tex>S \neq \emptyset, odd(G \setminus S) \equiv S \pmod 2</tex>, следовательно, <tex>n = odd(G \setminus S) \geqslant |S| + 2</tex>. Тогда <tex>\sum\limits_{v \in S} d_G(v) \geqslant \sum\limits_{i = 1}^n m_i \geqslant 3n - 4 \geqslant 3(|S| + 2) - 4 = 3|S| + 2 > 3|S| = \sum\limits_{v \in S} d_G(v)</tex>, что, очевидно, невозможно.  Найдено противоречие, следовательно, множество Татта выбрать невозможно, следовательно, в <tex>G</tex> есть совершенное паросочетание.}}

==Следствие [[Файл:Петерсен 3 моста.png|300px|thumb|left|Кубический граф с тремя мостами, в котором не существует совершенного паросочетания.]]Заметим, что утверждение теоремы Петерсона==Для любого двусвязного кубического графа не может быть усилено до большего числа мостов, так как для случая с тремя мостами существует совершенное паросочетаниеконтрпример.

Пусть <tex>G= (V, E)</tex> — {{---}} двусвязный кубический граф. Возьмём ребро <tex>p = (c, d)</tex>. Пусть вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex> смежены смежны с вершиной <tex>c</tex>, а вершины <tex>e</tex> и <tex>f</tex> смежны с вершиной <tex>d</tex> (рисунок <tex>1 (a)</tex>). Как минимум одно из двух сокращений графа <tex>G</tex>, состоящее из удаления вершин <tex>c, d</tex> и пересоединения вершин <tex>a, b, e, f</tex> рёбрами <tex>(a, e), (b, f)</tex> или <tex>(a, f), (b, e)</tex> (рисунок <tex>1 (b), (c)</tex>, рисунок <tex>2</tex>) сохранит двусвязность графа.

Обозначим компоненты графа <tex>G(V - \{c, d\})</tex> как <tex>A, B, E, F</tex>, которые содержат вершины <tex>a, b, e, f</tex> соответственно. Так как <tex>G</tex> не имеет мостов (соответственно <tex>p</tex> не является мостом) должно существовать ребро, соединяющее одну из компонент <tex>A</tex> или <tex>B</tex>, с одной из компонент <tex>E</tex> или <tex>F</tex>. Без потери общности предположим, что <tex>A</tex> соединено с <tex>E</tex>. Заметим, что рёбра <tex>(b, c), (d, f)</tex> так же не являются мостами, значит возможны три случая (с учётом изоморфизма) (рисунок <tex>3</tex>):* компонента <tex>B</tex> соединена с <tex>F</tex>,* компонента <tex>B</tex> соединена с <tex>E</tex> и компонента <tex>E</tex> соединена с <tex>F</tex>,* компонента <tex>A</tex> соединена с <tex>B</tex> и компонента <tex>E</tex> соединена с <tex>F</tex>.Во всех трёх случаях если <tex>G(V - \{c, d\})</tex> расширить рёбрами <tex>(a, f), (b, e)</tex> (получим граф <tex>G'</tex>), добавленные рёбра будут лежать на некотором [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл| цикле ]] в <tex>G'</tex> (рисунок <tex>4</tex>). Так же, для любой пары вершин <tex>u, v</tex> <math>\in</math> <tex>\{a, b, e, f\}</tex> существует цикл в <tex>G'</tex>, содержащий данные вершины. Чтобы доказать, что <tex>G'</tex> двусвязен, нужно показать, что каждое ребро <tex>r</tex> из <tex>G'</tex> лежит на некотором цикле в <tex>G'</tex>. Пусть цикл <tex>C</tex> в <tex>G</tex> содержит <tex>r</tex> (такой цикл существует, так как <tex>G</tex> двусвязен). Если <tex>C</tex> не проходит через вершины <tex>c, d</tex> тогда <tex>C</tex> так же является циклом в <tex>G'</tex>, иначе построим цикл <tex>C'</tex> графа <tex>G'</tex> из <tex>C</tex> следующим образом:

'''function''' frinkMatching<tex>(G)</tex>: '''if''' <tex>|V| = 0</tex> '''return''' <tex>\varnothing</tex> <tex>v - w = E[0]</tex> <tex>R = </tex> reductions<tex>(G, v - w)</tex> '''if''' bridgeless<tex>(</tex>reductedGraph<tex>(G, \{v, w\}, R[0]))</tex> <tex>r = R[0]</tex> '''else''' <tex>r = R[1]</tex> <tex>M =</tex> frinkMatching<tex>(</tex>reductedGraph<tex>(G,\{v, w\}, r))</tex> '''if''' <tex>|r \cap M| = 2 </tex> <tex>C =</tex> alternatingCycle<tex>(G, M, r[0])</tex> <tex>M = M \oplus C</tex> <tex>M = (M - r)\ \cup </tex> simpleReversion<tex>(G, v, w, r, M)</tex> '''return''' <tex>M</tex>

[[Файл:Frinks_algorithm1==Время работы алгоритма Фринка==Операция сокращения должна на каждом шаге проверять граф на наличие мостов за <tex>O(n)</tex>, кроме того, при возникновении четвёртого базового случая требуется найти альтернативный цикл за <tex>O(n)</tex>.png|thumb|right|300x300px|Рисунок 1В алгоритме <tex>O(n)</tex> операций сокращения и восстановления графа, причем каждая из этих операций требует <tex>O(n)</tex> времени. Таким образом, весь этот алгоритм исполняется за время <tex>O(n^2)</tex>.]]