17
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. '''Arbitrarily traceable graph'''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. <br>Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]]. }}
{{Теорема
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров, так как при удалении цикла все степени вершин остались четными. Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможно 2 случая:
* Имеет только вершины четной степени;
* Является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. Но по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.
==Источники==
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]
