Изменения
→Свойства корреляции
: <tex>\mathrm{Corr}(\eta,\xi) = \mathrm{Corr}(\xi,\eta)</tex>.
|proof=
: <tex dpi = "150">\mathrm{Corr}(\eta,\xi) = \dfrac{ E(\eta \times \xi) - E(\eta) \times E(\xi) \over }{\sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\xi)} } = \dfrac{ E(\xi \times \eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over }{\sqrt{D(\xi)} \times \sqrt{D(\eta)} } = \mathrm{Corr}(\xi,\eta)</tex>.
}}
Корреляция случайной величины с собой равна <tex>1</tex>.
|proof=
: <tex dpi = "150">\mathrm{Corr}(\eta,\eta) = \dfrac{ E(\eta \times \eta) - E(\eta) \times E(\eta) \over }{\sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\eta)} } = \dfrac{D(\eta) \over }{D(\eta)} = 1</tex>
}}
Если правая часть не равна <tex>0</tex>, то приходим к следующему неравенству:
<tex dpi = "150"> \dfrac{\mathrm{Cov}^2(\eta,\xi)\over}{(\sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2)} \leqslant 1</tex>
<tex>\mathrm{Corr}^2(\eta,\xi) \leqslant 1</tex>
Получаем, что
<tex dpi = "150">\mathrm{Corr}(\eta, \xi)= \dfrac{\mathrm{Cov}(\eta, \xi)\over }{\sigma_\eta \sigma_\xi}=\dfrac{k\over }{|k|}</tex>,
что и требовалось доказать.
|proof=
Пусть <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> {{---}} [[Независимые_случайные_величины|независимые величины]]. Тогда <tex>E(\eta \times \xi)=E(\eta) \times E(\xi)</tex>, где <tex>E</tex> {{---}} их [[Математическое_ожидание_случайной_величины|математическое ожидание]]. Получаем:
: <tex dpi = "150">\mathrm{Corr}(\eta, \xi) = \dfrac{E(\xi) \times E(\eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over }{{E\big((\eta-E(\eta))^2\big) \times E\big((\xi-E(\xi))^2\big)}} = 0</tex>
<b>Но обратное неверно:</b>
Пусть <tex>\eta</tex> {{---}} [[Дискретная_случайная_величина|случайная величина]], распределенная симметрично около 0, а <tex>\xi=\eta^2</tex>. <tex>\mathrm{Corr}(\eta,\xi)=0</tex>, но <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> {{---}} зависимые величины.
