Изменения
→Матрица ковариаций
== Матрица ковариаций ==
Матрица ковариаций {{---}} это матрица, элементы которой являются попарными ковариациями элементов одного или двуз случайных векторов.
Ковариационная матрица случайного вектора — квадратная симметрическая неотрицательно определенная матрица, на диагонали которой располагаются дисперсии компонент вектора, а внедиагональные элементы — ковариации между компонентами.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\xi, \eta</tex> {{---}} случайные вектора размерности <tex>n</tex> и <tex>m</tex> соответственно. <tex>\xi_i, \eta_j</tex> {{---}} случайные величины. Тогда матрицей ковариаций векторов <tex>\xi, \eta</tex> называется
: <tex>\Sigma = \mathrm{Cov}(\xi, \eta) = E((\xi - E\xi)(\eta - E\eta)^{\top})</tex>
}}
Например, ковариационная матрица для случайного вектора <tex>\xi</tex> выглядит следующим образом:
<tex>
\Sigma
= \begin{bmatrix}
\mathrm{E}((\xi_1 - E\xi_1)(\xi_1 - E\xi_1)) & \mathrm{E}((\xi_1 - E\xi_1)(\xi_2 - E\xi_2)) & \cdots & \mathrm{E}((\xi_1 - E\xi_1)(\xi_n - E\xi_n)) \\ \\
\mathrm{E}((\xi_2 - E\xi_2)(\xi_1 - E\xi_1)) & \mathrm{E}((\xi_2 - E\xi_2)(\xi_2 - E\xi_2)) & \cdots & \mathrm{E}((\xi_2 - E\xi_2)(\xi_n - E\xi_n)) \\ \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
\mathrm{E}((\xi_n - E\xi_n)(\xi_1 - E\xi_1)) & \mathrm{E}((\xi_n - E\xi_n)(\xi_2 - E\xi_2)) & \cdots & \mathrm{E}((\xi_n - E\xi_n)(\xi_n - E\xi_n))
\end{bmatrix}.
</tex>
<b> Свойства </b>
*Матрица ковариации случайного вектора неотрицательно определена: <tex>\mathrm{Cov}(\xi) \geqslant 0 </tex>
*Перестановка аргументов: <tex> \mathrm{Cov}(\xi, \eta) = \mathrm{Cov}(\eta, \xi)^{\top} </tex>
*Матрица ковариации аддитивна по каждому аргументу:
: <tex>\mathrm{Cov}(\xi_1 + \xi_2, \eta) = \mathrm{Cov}(\xi_1, \eta) + \mathrm{Cov}(\xi_2, \eta) </tex>
: <tex>\mathrm{Cov}(\xi, \eta_1 + \eta_2) = \mathrm{Cov}(\xi, \eta_1) + \mathrm{Cov}(\xi, \eta_2) </tex>
* Если <tex>\mathrm{Cov}(\xi, \eta) = 0</tex>, то <tex> \mathrm{Cov}(\xi + \eta) = \mathrm{Cov}(\xi) + \mathrm{Cov}(\eta)
== Расстояние Махаланобиса ==
