<tex>\mathrm{\Sigma_1}=\mathrm{NP}</tex>.
|proof=
*<tex>\to \quad(\mathrm{\Sigma_1} \subset \mathrm{NP})</tex>. : Пусть <tex>L \in \mathrm{\Sigma_1}</tex>. Тогда существуют <tex>R(x,y)</tex> и полином <tex>p</tex> из определения <tex>\mathrm{\Sigma_1}</tex>. Построим недетерминированную программу <tex>q(x)</tex>, разрешающую <tex>L</tex>.: q(x):: y = <tex>\{0,1\}^{p(|x|)}</tex>: '''return''' R(x,y): Если <tex>x\in L</tex>, то программа сможет «угадать» подходящий сертификат. Если <tex>x\notin L</tex>, то подходящего сертификата не существует по определению. # : Таким образом, <tex>q</tex> разрешает <tex>L</tex>, следовательно <tex>L\in \mathrm{NP}</tex>.*<tex>\gets \quad(\mathrm{NP} \subset \mathrm{\Sigma_1})</tex>.:Пусть <tex>L\in \mathrm{NP}</tex>. Тогда существует недетерминированная программа <tex>q(x)</tex>, разрешающая этот язык. Построим верификатор <tex>R(x,y)</tex>. В качестве сертификата будем использовать последовательность выборов в программе <tex>q</tex>, приводящую к допуску слова (такой сертификат имеет полиномиальную длину, поскольку выборов в <tex>q</tex> может быть сделано не более, чем время ее работы, то есть не более, чем полином). Верификатор будет аналогичен программе <tex>q</tex>, только вместо каждого недетерминированного выбора он будет присваивать значение, указанное в сертификате. Если <tex>x\in L</tex>, то в <tex>q</tex> существует последовательность выборов таких, что <tex>q(x)=1</tex>, следовательно существует и верный сертификат. Если <tex>x\notin L</tex>, то для любой последовательности выборов <tex>q(x)=0</tex>, следовательно подходящего сертификата не существует. Таким образом, <tex>L \in \mathrm{\Sigma_1}</tex>.
}}
'''Примечание:''' определение <tex>\mathrm{\Sigma_1}</tex> часто называют также «определением NP на языке сертификатов».
