Изменения

Рассмотрим функцию <tex>f(n) = U(n, n) + 1</tex>, где <tex>U(n, n)</tex> {{---}} [[Диагональный метод.|универсальная функция]].  Предположим, у нее существует всюду определенное продолжение <tex>g(n)</tex>. Это значит, что <tex>\forall n: gf(n) \neq \bot \Rightarrow g(n) = f(n)</tex> и <tex>f\forall n: g(n) \neq \bot \Rightarrow g(n) = f(n)</tex>.  По определению универсальной функции <tex>g(n) = U(i, n)</tex> для некоторого <tex>i</tex>. Тогда <tex>g(i) = U(i, i)</tex>. Поскольку <tex>g(n)</tex> всюду определена, то <tex>f(i) = U(i, i) \neq \bot</tex>. Значит, <tex>g(i) = f(i) = U(i, i) + 1</tex>. Получили противоречие.  Таким образом, построенная функция <tex>f(n)</tex> не имеет всюду определенного вычислимого продолжения.