Изменения

Сведем [[NP-полнота_задачи_о_выполнимости_булевой_формулы_в_форме_3-КНФ|3-CNF_Sat]] к задаче о сумме подмножества. Пусть задана 3-CNF формула <math>\phivarphi</math> от <math>n</math>переменных <math>x_{i}</math>, состоящая из <math>k</math> пар скобок <math>C_{i}</math>. Будем считать, не умаляя общности, что ни одна пара скобок не содержит одновременно переменную и ее отрицание. Также предположим, что каждая переменная входит хотя бы в одну пару скобок. Построим сводящую функцию <math>f\!\!:\phi varphi \to (S,s)</math>.

*Пусть формула <math>\phivarphi</math> выполнима, то есть существует набор значений <math>\{y_{i}\}^{n}_{i=1}:~\phivarphi(y_{1}\ldots y_{n})=1 </math>. И пусть <math>(S,s) = f(\phivarphi)</math>. Тогда в полученном множестве <math>S</math> существует подмножество с суммой <math>s</math>. Действительно, для каждой переменной, если <math>y_{k} = 1</math>, то добавим <math>v_{i}</math> в <math>S'</math>. Иначе добавим <math>w_{i}</math>. Теперь <math>S'</math> содержит уже <math>n</math> чисел. Заметим, что для каждого "скобочного" разряда в уже набранной части <math>S'</math> есть не менее одного и не более трех чисел, у которых в данном разряде стоит <math>1</math>. Значит для каждого соответствующего паре скобок <math>C_{j}</math> разряда мы сможем выбрать одно или оба числа <math>d_{j}</math> и <math>e_{j}</math> так, чтобы сумма в данном разряде совпадала с требуемой (стала равна <math>4</math>). Добавим их в <math>S'</math>. Также заметим, что суммы во всех "переменных" разрядах равны <math>1</math>, так как для каждого <math>i</math> выбиралось строго одно число из <math>v_{i}</math> и <math>u_{i}</math>. Значит, <math> \sum_{s_{k} \in S'}{s_{k}} = s</math>.*Пусть теперь в наборе <math>S</math> есть подмножество <math>S':~ \sum_{s_{k} \in S'}{s_{k}} = s</math>. Тогда исходная формула <math>\phivarphi</math> выполнима. Действительно, если <math>v_{i} \in S'</math>, то установим переменную <math>x_{i}=1</math>. Если же <math>w_{i} \in S'</math>, то <math>x_{i}=0</math>. Покажем, что <math>\phivarphi(x_{1}\ldots x_{n}) = 1 </math>. Действительно, так как <math> \sum_{s_{k} \in S'}{s_{k}} = s</math>, в каждой паре скобок хотя бы один терм равен <math>1</math>. Значит каждый терм равен <math>1</math>. А тогда и вся <math>\phi varphi = 1</math>.

Пусть исходная функция <math>\phivarphi(x_{1} \ldots x_{4}) = (x_{1} \lor x_{2} \lor \neg x_{3}) \land (\neg x_{1} \lor x_{2} \lor x_{4})</math>.

Тогда набору значений <math>Y = (0,0,0,1):~ \phivarphi(Y) = 1</math> соответствует <math>S' = \{w_{1},~w_{2},~w_{3},~v_{4},~d_{1},~e_{1},~e_{2}\}</math>. И действительно, <math>100001 + 10000 + 1010 + 101 + 10 + 20 + 2 = 111144</math>.