Изменения

=={{Определение|definition==<tex> H_{n, k} = \{ h | h: 2^n \to 2^k \}</tex> называется '''семейством универсальных попарно независимых хеш-функций''', если для <tex> \forall x_1, x_2 \in 2^n, x_1 \ne x_2</tex> и <tex> \forall y_1, y_2 \in 2^k</tex> и равномерной выборки функции <tex> h \in H_{n, k} </tex> будет выполнено <tex>P(h(x_1) = y_1 \land h(x_2) = y_2) = \frac{1}{2^{2k}}</tex>}}

=={{Лемма|statement==Для любого <tex>n \in N </tex> существует <tex>H_{n, n}</tex> ==|proof=Доказательство===Рассмотрим функцию <tex> h_{a, b} = ((ax+b)\ mod\ p)\ mod\ 2^n</tex> для простого <tex>p \in (2^n; 2^{n+1}]</tex>, любых <tex>a, b \in \mathbb{Z}_p</tex>, <tex>a \ne 0</tex>

<tex>\frac{1}{p^2} \left(\frac{p}{2^n} \right)^2 \le leqslant P(r\ mod\ 2^n = y_1 \land s\ mod\ 2^n=y_2) \le leqslant \frac{1}{p^2} \left( \frac{p}{2^n}+1 \right)^2 </tex>

{{Теорема|statement=Для любых <tex>n, k \in N</tex> существует <tex>H_{n, k}</tex>|proof=Построим <tex>H_{n, k}</tex> следующим образом: