1632
правки
Изменения
м
(Дополнительно) Объясни меня тому, кто всё это написал <s>(Дополнительно) Допиши меня</s> == Нанопример == В простейших случаях легко убедиться в существовании [[Определение интеграла Римана, простейшие свойства|определённого интеграла]].
Пункт 3.==== Третье свойство ====
<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |F(f(\overline{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))| \Delta x_k </tex>, (где
<tex>\overline{x}_k, \tilde{x}_k \in [x_k; x_{k + 1}]</tex>)
<tex>\leq</tex>(из свойств модуля непрерывности) <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega(F, |f(\overline{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \Delta x_k</tex>
<tex>\leq</tex>(по теореме о выпуклой мажоранте) <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega^*(F, |f(\overline{x}_k - f(\tilde{x}_k))|) \frac{\Delta x_k}{b - a}</tex>
# 1. Пусть <tex>[a; b] \subset [c; d]</tex> и <tex>f \in \mathcal{R}(c;d)</tex>. Тогда <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex># 2. Пусть <tex>a < b < c</tex> и <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, <tex>f \in \mathcal{R}(b, c)</tex>. Тогда <tex>f \in \mathcal{R}(a, c)</tex> и
rollbackEdits.php mass rollback
{{В разработке}}
== Читателям Пример =='''Эта статья каг бе говорит тебе: пойми меня и исправь всё неправильное, а так же добавь понятности и викифицируй меня'''.
Например, для <tex>f(x) = m</tex>:
<tex>\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1 } m\Delta x_k = m(b - a)</tex>
Значит, <tex>\int\limits_a^b m dx = m(b - a)</tex>
Определим
<tex>m_k(f) = m_k = \inf\limits_{x \in [x_k; x_{k+1}]} f(x)</tex><br><tex>M_k(f) = M_k = \sup\limits_{x \in [x_k; x_{k+1}]} f(x)</tex><br>
<tex>\underline{s} (f, \tau) = \underline{s} (\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} m_k \Delta x_k</tex> {{---}}
нижняя сумма Дарбу<br><tex>\overline{s} (f, \tau) = \overline{s} (\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} M_k \Delta x_k</tex> {{---}} верхняя сумма Дарбу<br>
Тогда, очевидно, <tex>\underline{s}(\tau) \leq \sigma(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>.
\begin{aligned}
\underline{s}(\tau_1) & \leq & \underline{s}(\tau_2) \\
\overline{s}(\tau_1) & \geq & \overline{s}{(\tau_2} ) \\
\end{aligned}
\right.
Далее все слагаемые будут одинаковы. Значит, неравенство выполнено.
Положим <tex>\tau_3 = \tau_1 \cup \tau_2</tex>. Тогда <tex>\tau_3 \leq \tau_1, \tau_2</tex>.
== Критерий интегрируемости ==
Пусть <tex>\omega(f, \tau) = \overline{s}(\tau) - \underline{s}(\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (M_k - m_k)\Delta x_k \leq geq 0</tex>
<tex>\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) \to = 0 \RightarrowLeftrightarrow</tex><tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \ \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow \omega(f, \tau ) < \varepsilon)</tex>
Определим <tex>\underline{I} = \sup\limits_{\{\tau\}} \underline{s}(\tau)</tex>,
<tex>\exists I = \lim \sigma(\tau)</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta \leq geq 0 : \ \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow
I - \varepsilon \leq \sigma(\tau) \leq I + \varepsilon</tex>
Сейчас мы эту функцию немного изменим. Точек разрыва у новой функции будет всё ещё бесконечно много,
но доминировать уже будут точки непрерывности на любом отрезке. Это приведёт к тому, что функция станет
интегрируемой, хотя на любом её конечном отрезке множество её точек разрыва будет всюдуплотнымвсюду плотным, и её график
всё ещё будет не нарисовать.
<tex>\int\limits_0^1 r(x) = 1</tex>
|proof=
Очевидно, что в любом конечном отрезке имеется лишь конечное число несократимых дробей с наперёд заданным знаменателем. Отсюда следует, что функция Римана в каждой (какое-то мутное место)
иррациональной точке непрерывна, а в каждой рациональной {{---}} разрывна (/мутное место).
Покажем, что существует <tex>\int\limits_0^1 r(x)</tex>. Для этого выпишем <tex>\omega</tex>.
<tex>\omega(r, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}(M_k - m_k) \Delta x</tex>. Нужно показать, что это стремится к нулю.
Если мы докажем, что эта функция интеграруема интегрируема (что как раз равносильно стремлению последнего к нулю), то вопрос её вычисления станет тривиальным, ибо
если у интеграционной суммы есть предел, то он не зависит от <tex>\tau</tex>.
рациональная дробь содержится в текущем отрезке. Тогда <tex>M_k - m_k = \frac1{P_k}</tex>.
В отрезке <tex>[0; 1]</tex> дробей со знаменателем меньшим <tex>N_\varepsilon</tex> конечное число. Тогда отсюда ясно, что
если рассмотреть <tex>\tau</tex> достаточно малого ранга, то сумма длин тех отрезков, в которых содержатся
несократимые дроби <tex>\frac{m}{N_\varepsilon}</tex> будет достаточно малым и при <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>
сумма будет становиться мегьше и меньше. Что касается других промежуточных отрезков, то в силу
формулы <tex>M_k - m_k = \frac1{P_k}</tex>, <tex>P_k \leq > N_\varepsilon</tex>, <tex>M_k - m_k < \frac1{N_\varepsilon} \leq \varepsilon</tex>.
Но сумма этих отрезков не превзойдёт единицы.
Оценим сверху <tex>I</tex>:
<tex>\omega(r, \tau) \leq \varepsilon + N_\varepsilon ^2 \operatorname{rang} \tau</tex>.
Тогда при <tex>\delta = \frac\varepsilon{N_\varepsilon^2}</tex>:
<tex>\omega(r,\tau) \leq \varepsilon + \varepsilon</tex>
на отрезке и выведем для этой величины одно важное свойство.
== Колебания О_о ==
{{Определение
Пусть <tex>f</tex> определена на <tex>[c; d]</tex> и ограничена на нём.
Тогда колебанием ограниченной функции на отрезке <tex>[c;d]</tex> назовём
<tex>\omega(f, [c; d]) = \sup\limits_{x'x_1, x'' x_2 \in [c; d]} |f(x''x_2) - f(x'x_1)|</tex>
}}
== Хз как назвать Интегрируемость непрерывного преобразования интегрируемой функции ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>m = \inf\limits_{x \in [c; d]} f(x)</tex> и <tex>M = \sup\limits_{x \in [c; d]}</tex>
Тогда <tex>\omega(f, [c; d]) = M - m</tex>
|proof=
В силу <tex>m \leq f(x')</tex>, <tex>f(x'') \leq M</tex>,
<tex>|f(x'') - f(x')| \leq M - m</tex>, значит, <tex>\omega(f, [c; d]) \leq M - m</tex>
Докажем обратное неравенство, используя определение граней.
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists x', x'' \in [c; d]: \ f(x') < M m + \varepsilon,\ M - \varepsilon < f(x'')</tex>
Отсюда, очевидно, следует, что тогда
}}
== Интегрирование сложной функции ==
{{Теорема
|statement=
Пусть на <tex>[a; b]</tex> задана интегрируемая функция <tex>f</tex>, <tex>f(x) \in \mathcal {R}, f(x) \in [A; B]</tex>.
На отрезке <tex>[A; B]</tex> задана непрерывная функция <tex>F \colon : [A;B] \to \mathbb{R}</tex>.
Тогда <tex>F \circ f \in \mathcal{R}(a; b)</tex>
|proof=
В силу условия теоремы сложная функция вернакорректно определена, так как элементы внутренней функции лежат в области, определённой внешней.
Тогда нам нужно доказать, что <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0 \Rightarrow \omega(F \circ f, \tau) \to 0</tex>
<tex>\tau \colon : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n < b</tex> <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (F(f(\bar{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))) \Delta x_k </tex>,(где <tex>\bar{x}_k, \tilde{x}_k \in [x_k; x_{k + 1}]</tex>)<tex> \leq </tex>(из свойств модуля непрерывности)<tex> \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega(F, |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \Delta x_k</tex> <tex>\leq</tex>(по теореме о выпуклой мажоранте)<tex>(b-a)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega^*(F, |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \frac{\Delta x_k}{b - a}</tex>
(так как <tex>\sum\limits_{k =0}^{n - 1} \frac{\Delta x_k}{b - a} = 1</tex>, а <tex>\omega^*</tex> выпукла вверх)
<tex>\leq (b - a) \omega^*(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overlinebar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex><tex>\leq </tex>(по теореме о выкуклой мажоранте) <tex>2(b - a) \omega(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overlinebar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex> По только что доказанному,
По определению <tex>\omega(f, \tau)</tex>,<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overline(bar{x)}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x}{b - a} \leq \frac{1}{b - a} \omega(f, \tau)</tex>
Отсюда, по монотонности модуля непрерывности,
<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |F(f(\overlinebar{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))| \Delta x_k</tex>
<tex>\leq 2(b - a)\omega(F, \frac1{b - a}\omega(f, \tau))</tex>
Промежуточных точек не имеется, поэтому, переходя к <tex>\sup</tex> по <tex>\overlinebar{x}_k</tex> и <tex>\tilde{x}_k</tex>,
приходим к неравенству
<tex>\omega(F \circ f, \tau) \leq 2(b - a)\omega(f, \frac1{b - a} \omega(f, \tau))</tex>
По условию, <tex>f \in \mathcal{R}(a, b) \Rightarrow \omega(f, \tau) \to 0</tex> при <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>
Тогда, по непрерывности в нуле <tex>\omega</tex>,
Аддитивность интеграла
|statement=
<tex>\int\limits_a^c f = \int\limits_a^b f + \int\limits_b^c f</tex>. Это свойство называется аддитивностью интеграла
|proof=
}}
== Слушайте продолжение в понедельник! Существование определённого интеграла непрерывной или возрастающей функции == {{Утверждение|statement=Если <tex>f</tex> {{---}} 1. непрерывна на <tex>[a; b]</tex>или 2. возрастает на <tex>[a; b]</tex>, то <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>|proof=1. Если <tex>f</tex> непрерывна на <tex>[a;b]</tex>, то, по теореме Кантора о равномерной непрерывности на отрезке, она равномерно непрерывна на нём. Тогда <tex>\forall \varepsilon \ \exists \delta: \quad |x'' - x'| < \delta \Rightarrow |f(x'') - f(x')| < \varepsilon</tex> Возьмём разбиение <tex>\tau</tex>, такое, что <tex>\operatorname{rang} \tau < \delta</tex>. Тогда для любой пары соседних промежуточных точек<tex>|f(x'') - f(x')| < \varepsilon</tex>. Тогда, по лемме о колебаниях, <tex>M_k - m_k < \varepsilon</tex>. Получаем:<tex>\omega(f, \tau) \leq \varepsilon \sum\limits_{k = 0}^{n -1} \Delta x_k = (b - a)\varepsilon</tex>, если <tex>\operatorname{rang} \tau < \delta</tex>.Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, получаем, что функция интегрируема. 2. <tex>f</tex> возрастает. Так как <tex>m_k</tex> {{---}} минимум на отрезке, а <tex>M_k</tex> {{---}} максимум, то <tex>m_k = f(x_k)</tex>, <tex>M_k = f(x_{k + 1})</tex> <tex>\omega(f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (f(x_{k + 1}) - f(x_k)) \Delta x_k \leq </tex><tex>\operatorname{rang} \tau \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(x_{k + 1} - f(x_k)) = </tex><tex>(f(b) - f(a)) \operatorname{rang} \tau</tex> Так как <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>, <tex>\omega(f, \tau) \to 0</tex> <tex>\Rightarrow f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>}} == Обобщение формулы аддитивности == {{Определение|definition=При <tex>a > b</tex>, <tex>\int\limits_a^b f = -\int\limits_b^a</tex>}} Легко проверить, что формулу аддитивности можно обобщить для немонотонной последовательности чисел <tex>a_1, a_2, \ldots a_n</tex>: <tex>\int\limits_{a_1}^{a_n} = \int\limits_{a_1}^{a_2} + \int\limits_{a_2}^{a_3} + \cdots + \int\limits_{a_{n - 1}}^{a_n}</tex>
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
