Изменения

|statement=После окончания работы алгоритма Дейкстры для всех вершин <tex>u \in V(G)</tex> будет выполняться равенство <tex>d[u] = \delta(s, u)</tex>

[[Файл:DijkstraProove.png|thumb|right|Рис. 1]]'''Сохранение'''. Покажем, что при каждой итерации инвариант сохраняется для каждой вершины, добавленной в <tex>S</tex>, для этого воспользуемся методом «от противного». Предположим, что <tex>u</tex> первая добавленная в <tex>S</tex> вершина, для которой равенство <tex>d[u] = \delta(s, u)</tex> не выполняется. Рассмотрим ситуацию, сложившуюся в начале итерации, в которой <tex>u</tex> будет добавлена в <tex>S</tex>. Рассмотрев кратчайший путь из <tex>s</tex> в <tex>u</tex>, можно получить противоречие, заключающееся в том, что на рассматриваемый момент справедливо равенство <tex>d[u] = \delta(s, u)</tex>. Должно выполняться условие <tex>u \neq s</tex>, так как <tex>s</tex> является первой вершиной, добавленной в <tex>S</tex> и в момент её добавления равенство <tex>d[u] = \delta(s, u)</tex> выполняется. Из условия <tex>u \neq s</tex> следует, в частности, что <tex>S</tex> не пусто. Из вершины <tex>s</tex> в вершину <tex>u</tex> должен существовать какой-нибудь путь, так как иначе выполняется соотношение <tex>d[u] = \delta(s, u) = \infty</tex>, нарушающее предположение о том, что равенство <tex>d[u] = \delta(s, u)</tex> не выполняется. Из существования пути следует, что существует и кратчайший путь <tex>p</tex> из <tex>s</tex> в <tex>u</tex>. Перед добавлением <tex>u</tex> в <tex>S</tex> путь <tex>p</tex> соединяет вершину из множества <tex>S</tex> с вершиноу вершиной принадлежащей маножеству множеству <tex>V \setminus S</tex>. Рассмотрим первую вершину <tex>y</tex> на пути <tex>p</tex> принадлежащую <tex>V \setminus S</tex>, и положим, что её предшествует вершина <tex>x \in S</tex>. Тогда, как видно из рис.1, путь <tex>p</tex> можно разложить на составляющие <tex>s \overset{p_1}{\leadsto} x \to y \overset{p_2}{\leadsto} u</tex>. Утверждается, что в момент добавления вершины <tex>u</tex> в множество <tex>S</tex>, выполняется равенство <tex>d[u] = \delta(s, y)</tex>. Так как вершина <tex>u</tex> выбрана как первая вершина, после добавления которой в множество <tex>S</tex> не выполянется соотношение <tex>d[u] = \delta(s, u)</tex>, то после добавления вершины <tex>x</tex> в <tex>S</tex> справедливо равенство <tex>d[x] = \delta(s, x)</tex>. В это время происходит релаксация ребра <tex>xy</tex>. В это время происходит релаксация ребра <tex>xy</tex>, поэтому вышеописанное утверждение выполняется.  Поскольку на кратчайшем пути из <tex>s</tex> в <tex>u</tex> вершина <tex>y</tex> находиться перед <tex>u</tex> и вес каждого из ребер выражается неотрицательным значением, выполняется неравенство <tex>\delta(s, y) \leqslant \delta(s, u)</tex>, поэтому <tex>d[y] = \delta(s, y) \leqslant \delta(s, u) \leqslant d[u]</tex>. Но так как и вершина <tex>u</tex>, и вершина <tex>y</tex> во время выбора вершины <tex>u</tex> находились в множестве <tex>V \setminus S</tex>, выполняется неравенство <tex>d[u] \leqslant d[y]</tex>. Таким образом, оба <tex>d[y] = \delta(s, y) = \delta(s, u) = d[u]</tex>. Значит, <tex>d[u] = \delta(s, u)</tex>, что противоречит нашему выбору вершины <tex>u</tex>. Следовательно, во время добавления вершины <tex>u</tex> в множество <tex>S</tex> выполняется равенство<tex>d[u] = \delta(s, u)</tex>, а следовательно, оно выполняется и в дальнейшем. '''Завершение'''. По завершении работы алгоритма множество <tex>V \setminus S</tex> пусто. Из этого равенства следует, что <tex>S = V</tex>. Таким образом, для всех вершин <tex>u \in V</tex> выполняется равенство <tex>d[u] = \delta(s, u)</tex>.