403
правки
Изменения
м
minor fixes
\begin{aligned}
\underline{s}(\tau_1) & \leq & \underline{s}(\tau_2) \\
\overline{s}(\tau_1) & \geq & \overline{s}{(\tau_2} ) \\
\end{aligned}
\right.
<tex>\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) \to 0 \Rightarrow</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \ \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow \omega(f, \tau ) < \varepsilon)</tex>
Определим <tex>\underline{I} = \sup\limits_{\{\tau\}} \underline{s}(\tau)</tex>,
<tex>\exists I = \lim \sigma(\tau)</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta \leq geq 0 : \ \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow
I - \varepsilon \leq \sigma(\tau) \leq I + \varepsilon</tex>
Сейчас мы эту функцию немного изменим. Точек разрыва у новой функции будет всё ещё бесконечно много,
но доминировать уже будут точки непрерывности на любом отрезке. Это приведёт к тому, что функция станет
интегрируемой, хотя на любом её конечном отрезке множество её точек разрыва будет всюдуплотнымвсюду плотным, и её график
всё ещё будет не нарисовать.
<tex>\int\limits_0^1 r(x) = 1</tex>
|proof=
Очевидно, что в любом конечном отрезке имеется лишь конечное число несократимых дробей с наперёд заданным знаменателем. Отсюда следует, что функция Римана в каждой (какое-то мутное место)
иррациональной точке непрерывна, а в каждой рациональной {{---}} разрывна (/мутное место).
Покажем, что существует <tex>\int\limits_0^1 r(x)</tex>. Для этого выпишем <tex>\omega</tex>.
<tex>\omega(r, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}(M_k - m_k) \Delta x</tex>. Нужно показать, что это стремится к нулю.
Если мы докажем, что эта функция интеграруема интегрируема (что как раз равносильно стремлению последнего к нулю), то вопрос её вычисления станет тривиальным, ибо
если у интеграционной суммы есть предел, то он не зависит от <tex>\tau</tex>.
