Изменения
Нет описания правки
# Харари 8.10
# Харари 8.11
# Матроид с выкинутым элементом. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M\setminus x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Множества, не содержавшие $x$, остаются независимыми. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M\setminus x = \langle X \setminus x, \{A | A \in I, x \not\in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$ получившаяся конструкция $M\setminus x$ является матроидом.
# Матроид, стянутый по элементу. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M/x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются множества, которые ранее содержали $x$, после удаления из них этого элемента. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$, таких что $\{x\}\in I$ получившаяся конструкция $M/x$ является матроидом.
# Прямая сумма матроидов. Пусть $M_1 = \langle X_1, I_1\rangle$ и $M_2=\langle X_2, I_2\rangle$ - матроиды с непересекающимися носителями ($X_1 \cap X_2 = \varnothing$). Обозначим как $M_1+M_2$ следующую конструкцию: $M_1 + M_2 = \langle X_1 \cup X_2, I = \{A \cup B|A \in I_1, B \in I_2\}$. Докажите, что сумма матроидов является матроидом.
# Разноцветные множества. Пусть $X$ - множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Будем называть независимыми множества, в которых все элементы разного цвета. Докажите, что эта конструкция является матроидом. Используйте определение матроида.
# Представьте конструкцию из предыдущего примера в виде прямой суммы универсальных матроидов.
# Является ли алгоритм Прима вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
# Является ли венгерский алгоритм вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
# Образуют ли паросочетания в полном графе семейство независимых множеств некоторого матроида?
# Рассмотрим кратчайшие пути из $s$ в $t$ в неориентированном невзвешенном графе. Назовем множество ребер независимым, если оно лежит на некотором кратчайшем пути. Образует ли эта конструкция семейство независимых множеств некоторого матроида?
</wikitex>
