113
правок
Изменения
→Аффинная независимость и базисы
{{Лемма
|statement=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> — это аффинное пространство. Пусть <math>\{a_i\}_{i=0}^n</math> — множество точек из <math>A</math>. Пусть <math>x \in A</math> представима в виде аффинной комбинации <math>\{a_i\}_{i=0}^n</math>. Тогда набор коэффициентов аффинной комбинации <math>\{\lambda_i\}_{i=0}^n</math>, что <math>x = \sum_{i=0}^n \lambda a_i</math>, единственен тогда и только тогда, когда набор векторов <math>\{\overrightarrow{a_0 a_i}\}_{i=1}^n</math> линейно независим.
|proof=Пусть есть две аффинные комбинации с коэффициентами <math>\{\alpha_i\}_{i=0}^n</math> и <math>\{\beta\}_{i=0}^n</math>, дающие x. Посчитаем их, взяв за точку начала отсчёта точку <math>a_0</math>: <math>\displaystylex= a_0 + \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot \overrightarrow{a_0 a_i}= a_0 + \sum_{i=1}^n \beta_i \cdot \overrightarrow{a_0 a_i}</math>. Получаем, что <math>\displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot \overrightarrow{a_0 a_i}= \sum_{i=1}^n \beta_i \cdot \overrightarrow{a_0 a_i}</math>. По [[#vectorUniqueness|лемме для векторного пространства]] такое разложение единственно, <math>\forall i \in \left[1..n\right] \alpha_i = \beta_i \implies \alpha_0 = \beta_0</math>.}}Имеет смысл определить понятие базиса в аффинном пространстве.{{Определение|definition=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> — это аффинное пространство. Множество точек <math>\{a_i\}_{i \in I}</math> будет называться '''аффинным базисом''' этого пространства, если множество векторов <math>\{\overrightarrow{a_0 a_i}\}_{i=1}^n</math> будет базисом <math>V</math>. '''Координатами''' точки будут коэффициенты её аффинного разложения в этом базисе.}}Поскольку <math>\forall x \in A : x = a_0 + \overrightarrow{a_0 x}</math>, то если множество <math>\{\overrightarrow{a_0 a_i}\}_{i=1}^n</math> ЛНЗ, то существует единственное разложение
<math> \displaystyle
</math>,
значит, разложение в аффинный базис всегда существует. Более того, других разложений точки <math>x</math> не существует ('''туду''').}}Имеет смысл определить понятие базиса в аффинном пространстве.{{Определение|definition=Пусть <math>\langle A, Vи по лемме, (+)\rangle</math> — это аффинное пространство. Множество точек <math>\{a_i\}_{i \in I}</math> будет называться '''аффинным базисом''' этого пространства, если множество векторов <math>\{\overrightarrow{a_0 a_i}\}_{i=1}^n</math> будет базисом <math>V</math>. '''Координатами''' точки будут коэффициенты её аффинного разложения в этом базисеоно единственно.}}
Также можно выделить <math>a_0</math> как начало координат, и представлять координаты так же, как это делается в векторном пространстве.
Обычно так и делается.
