113
правок
Изменения
Нет описания правки
<center><tex>P_\sigma P_\pi = P_{\pi \circ \sigma}</tex></center>
где <tex>\circ</tex> - — операция [[Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок| умножения двух перестановок]].
|proof=
Рассмотрим <tex>{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = \sum\limits_{x = 1}^{n}{({P_\sigma}_{i,x} {P_\pi}_{x,j})}</tex>
Для любой матрицы перестановок существует обратная:
<center><tex>P_\sigma^{-1} = P_\sigma^T</tex></center>
где <tex>P^T</tex> - — транспонированная матрица <tex>P</tex>.
|proof=
Так как перестановки являются группой, то для любой перестановки существует обратная. Так как любая перестановка имеет свою матрицу перестановки, то утверждение о существовании обратной матрицы перестановки также справедливо.
}}
{{Утверждение|statement=Для любой матрицы перестановок <tex>P</tex> справедливо:
<center><tex>P^T P = P P^T = E</tex></center> где <tex>E</tex> - — единичная матрица.
|proof=
Также следует из того, что перестановки являются группой.}}
|proof=
Рассмотрим произвольную матрицу <tex>A</tex> и матрицу перестановки <tex>P</tex>:
возьмем <tex>i</tex> - — тую строчку матрицы <tex>A</tex> и умножим на <tex>j</tex> - — тый столбец <tex>P</tex>,так как <tex>j</tex> - — тый столбец матрицы <tex>P</tex> это двоичный вектор с одной единицей, то от <tex>i</tex> - — той строчки матрицы <tex>A</tex> выживет один элемент, причем на <tex>j</tex> - — том месте.Умножив <tex>i</tex> - — тую строчку матрицы <tex>A</tex>, на остальные столбцы матрицы <tex>P</tex>, получим, что в <tex>i</tex> - — той строке матрицы <tex>A</tex> элементы поменяются местами. Умножая другие строки матрицы <tex>A</tex>, будем наблюдать похожее (так как умножаем на те же самые столбцы матрицы <tex>P</tex>). Таким образом получим, что в матрице <tex>A</tex> столбцы поменялись местами.
Доказательство второго утверждения аналогично.
