113
правок
Изменения
Нет описания правки
1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix}</tex>. В соответствующей матрице в первом столбце единица будет стоять на первом месте, во втором столбе на 3 третьем месте, в третьем на 2втором. Итого: <tex>P = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}</tex>.
{{Определение
где <tex>\circ</tex> — операция умножения перестановок.
|proof=
Рассмотрим <tex>{P_\sigma P_\pi}_{i,j} = \sum\limits_{x = 1}^{n}{{P_\sigma}_{i,x} {P_\pi}_{x,j}}</tex>. Эта сумма может быть равна нулю или единице, причем единице в том случае, если в <tex>i</tex> - той строчке на <tex>k</tex> - том столбце матрицы <tex>P_\sigma</tex> и в <tex>k</tex> - той строчке на <tex>j</tex> - том столбце матрицы <tex>P_\pi</tex> стоят единицы. <tex>{P_\sigma}_{i,k} = 1</tex> значит, что в перестановке <tex>\sigma</tex> на <tex>i</tex> - том месте стоит элемент <tex>k</tex>, и <tex>{P_\pi}_{k,j} = 1</tex> означает что в перестановке <tex>\pi</tex> на <tex>k</tex> - том месте стоит элемент <tex>j</tex>, а <tex>{P_\sigma P_\pi}_{i,j} = 1</tex> означает что в перестановке, которой соответствует эта матрица, так же на <tex>i</tex> - том месте стоит элемент <tex>j</tex>. Но также известно, что <tex> (\pi \circ \sigma)(i) = \pi(\sigma(i)) = j </tex>. В результате если <tex>{P_\sigma P_\pi}_{i,j} = 1</tex>, то <tex>{P_{\pi \circ \sigma}}_{i,j} = 1</tex>. Аналогичные рассуждения можно провести когда <tex>{P_\sigma P_\pi}_{i,j} = 0</tex>, и также получим, что <tex>{P_{\pi \circ \sigma}}_{i,j} = 0</tex>. Поэтому для любых <tex>i,j</tex> справедливо <tex>{P_\sigma P_\pi}_{i,j} = {P_{\pi \circ \sigma}}_{i,j}</tex>, а раз такое равентсво выполняется, то <tex>P_\sigma P_\pi = P_{\pi \circ \sigma}</tex>.
}}
где <tex> {\delta}_{ij} </tex> — символ Кронекера.
Отсюда следует, что <tex> P^T=P^{-1} </tex>, так как по определению обратной матрицы <tex> PP^{-1}=P^{-1}P = E </tex>. }}
{{Утверждение|statement=
При умножение слева матрицы перестановок <tex> {P}_{ij} </tex> на матрицу <tex>A</tex> происходит перестановка <tex> {i} </tex> - й и <tex> {j} </tex> - й строк матрицы <tex>A</tex>. Умножение справа матрицы перестановок <tex> {P}_{ij} </tex> на матрицу <tex>A</tex> приводит к перестановке <tex> {i} </tex> - го и <tex> {j} </tex> - го столбцов матрицы <tex>A</tex>.
|proof=
Рассмотрим сначала умножение слева, т.е. матрицу <tex> {P}_{ij}{A} </tex>, которую обозначим <tex> {B} = {b}_{kl} </tex>. Посчитаем чему равны элементы этой матрицы:
<tex> {b}_{kl} = {(\ 0\ ...\ldots\ 0\ 1\ 0\ ...\ldots\ 0\ )}
\begin {pmatrix}
{a}_{1l}\\
\end {cases} </tex>
Действительно, по определению матрицы перестановок единица в строке стоит на <tex> {k} </tex> - м месте, если , <tex> {k \ne i,j} </tex>, на <tex> {j} </tex> - м месте, если <tex> {k = i} </tex>, и на <tex> {i} </tex> - м месте, если <tex> {k = j} </tex>. Итак, если <tex> {k \ne i,j} </tex>, то <tex> {k} </tex> - я строка матрицы <tex>B</tex> просто совпадает с <tex> {k} </tex> - й строкойматрицы <tex>A</tex>. Далее, <tex> {i} </tex> - я строка матрицы <tex>B</tex> совпадает с <tex> {j} </tex> - й строкой матрицы <tex>A</tex>, инаоборот. Поэтому <tex>B</tex> получается из <tex>A</tex> перестановкой <tex> {i} </tex> - й и <tex> {j} </tex> - й строк.
Теперь рассмотрим умножение справа. Пусть <tex> {B} = {A}{P}_{ij} </tex>.
<tex> {b}_{kl} = {(\ {a}_{k1}\ {a}_{k2}\ ...\ldots\ {a}_{kn}\ )}
\begin {pmatrix}
0\\
\end {cases} </tex>
По определению матрицы перестановок единица в столбце стоит на <tex> {l} </tex> - м месте, если <tex> {l \ne i,j} </tex>, на <tex> {j} </tex> - м месте, если <tex> {l = i} </tex>, и на <tex> {i} </tex> - м месте, если <tex> {l = j} </tex>.Итак, если <tex> {l \ne i,j} </tex>, то <tex> {l} </tex> - й столбец матрицы <tex>B</tex> просто совпадает с <tex> {l} </tex> - м столбцомматрицы <tex>A</tex>. Далее, <tex> {i} </tex> - й столбец матрицы <tex>B</tex> совпадает с <tex> {j} </tex> - м столбцом матрицы <tex>A</tex>, инаоборот. Поэтому <tex>B</tex> получается из <tex>A</tex> перестановкой <tex> {i} </tex> - го и <tex> {j} </tex> - го столбцов. Пример. Пусть задана матрица перестановки <tex>P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}</tex>, которая соответствует перестановке <tex>\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}</tex>, и матрица <tex>A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix}</tex>, тогда перемножив получим: * <tex>PA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix}</tex>, видно, что вторая и третья строки поменялись местами; * <tex>AP = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \\ \end{pmatrix}</tex>, видно, что второй и третий столбец поменялись местами.
}}
{{Утверждение|statement=Матрица перестановок <tex>n</tex>-го порядка может быть представлена в виде произведения <tex>(n - 1)</tex> элементарных матриц перестановок (<tex>{n > 2}</tex>).
|proof=
Обозначим <tex>{t}_{ij}</tex> - — элементарную матрицу, полученную из единичной путем изменения <tex>i</tex> - й и <tex>j</tex> - й строк. Рассмотрим матрицу перестановок
<tex> P = \begin {pmatrix}
{a}_{11} & {a}_{12} & ... & {a}_{1n}\\
\end {pmatrix}</tex> и так далее, пока не получится единичной матрицы.
В итоге: <tex> t_1 ... \ldots t_kAt_{k+1} ... \ldots t_{k+l} = E </tex>.
Все элементарные матрицы обратимы и обратная к элементарной матрице — это тоже элементарная матрица, следовательно: <tex> A = t_k^{-1} ... \ldots t_1^{-1}Et_{k+l}^{-1} ... \ldots t_{k+1}^{-1} = t_k^{-1} ... \ldots t_1^{-1}t_{k+l}^{-1} ... \ldots t_{k+1}^{-1} </tex>.
Заметим, что с каждым шагом мы домнажаем на одну элементарную матрицу перестановок, следовательно всего будет <tex> (n-1) </tex> таких матриц.
}}
Благодаря своим свойствам, матрицам перестановок нашлось применение в линейной алгебре. Они используются в элементарных преобразованиях матриц, то есть домножение слева или справа на матрицу перестановок, есть перестановка любых строк или столбов соответственно.
== См. также==
