1632
правки
Изменения
м
{{Задача
|definition = Выделить в данном дереве наибольшее возможное количество соседних вершин, образующих дерево поиска.
}}
Рассмотрим каждую вершину дерева, предполагая, что она может быть корнем максимального поддерева поиска. Найдём для каждой из них количество всех вершин, которые могут находиться в таком поддереве. Максимальный из результатов, получаемых на каждом шаге, будем запоминать. Вместе с максимумом будем запоминать и соответствующую ему вершину. После того, как мы обошли всё дерево и нашли корень дерева поиска с наибольшим количеством вершин, при помощи обхода <tex>\mathrm{preorderTraversal}</tex> выводим все вершины на экран.
'''Node''' root(Tree[n]: '''Node''') <font color="green">// Tree — заданное двоичное дерево.</font>
maxdp = -1
maxroot = ''null''
'''for''' u '''in''' Tree
dp = dfs(u, <tex> -\infty </tex>, <tex> \infty </tex>)
'''if''' dp > maxdp
maxdp = dp
maxroot = u
'''return''' maxroot
Функция <tex>\mathtt{dfs}</tex> позволяет найти для каждой вершин максимально возможное количество узлов поддерева. На вход функции подаются сама анализируемая вершина и левая и правая границы интервала, в которой могут находиться значения в её поддереве. Начальные значения двух последних аргументов равны <tex> -\infty </tex> и <tex> \infty </tex> соответственно.
В основе функции также лежит [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]]. Рекурсивная функция обходит всех существующих детей вершины, поданной на вход, и, если ребёнок не нарушает условия дерева поиска, она добавляет его в поддерево и анализирует его потомков. В этом случае роль <tex>v</tex> будет разыгрывать ребёнок, удовлетворяющий условию дерева поиска. Если он был левым сыном, то максимально возможному значению присваивается число, стоящее в его родителе, а минимальное возможное значение не изменяется. Наоборот, если он был правым сыном, увеличиваем минимум, а максимум оставляем тем же. В случае, когда левый или правый сын не удовлетворяет условию дерева поиска, этот узел не включается в искомое поддерево и дальше не рассматривается.
Функция возвращает значение переменной <tex>\mathtt{res}</tex>, где записано количество вершин поддерева.
'''int''' dfs(v: '''Node''', max: '''T''', min: '''T''')
res = 1
'''if''' v.left != ''null''
'''if''' v.left.key < v.key '''and''' v.left.key > max
res += dfs(v.left, v.left.key, min)
'''if''' v.right != ''null''
'''if''' v.right.key > v.key '''and''' v.right.key < min
res += dfs(v.left, max, v.left.key)
'''return''' res
Время работы алгоритма {{---}} <tex>O(n^2)</tex>. Существуют также алгоритмы, позволяющие найти поддерево за линейное время.
* [[АВЛ-дерево]]
rollbackEdits.php mass rollback
=== Поиск следующего и предыдущего элемента ===
====Реализация с использованием информации о родителе====
Если у узла есть правое поддерево, то следующий за ним элемент будет минимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет правого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является левым дочерним узлом своего родителя. Поиск предыдущего выполнятся аналогично. Если у узла есть левое поддерево, то следующий за ним предыдущий ему элемент будет максимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет левого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является правым дочерним узлом своего родителя.
'''Node''' next(x : '''Node'''):
'''if''' x.right != ''null''
'''return''' y
Обе операции выполняются за время <tex>O(h)</tex>.
====Реализация без использования информации о родителе====
Рассмотрим поиск следующего элемента для некоторого ключа <tex>x</tex>. Поиск будем начинать с корня дерева, храня текущий узел <tex>current</tex> и узел <tex>successor</tex>, последний посещенный узел, ключ которого больше <tex>x</tex>. <br>
====Рекурсивная реализация====
При рекурсивном удалении узла из бинарного дерева нужно рассмотреть три случая: удаляемый элемент находится в левом поддереве текущего поддерева, удаляемый элемент находится в правом поддереве или удаляемый элемент находится в корне. В двух первых случаях нужно рекурсивно удалить элемент из нужного поддерева. Если удаляемый элемент находится в корне текущего поддерева и имеет два дочерних узла, то нужно заменить его минимальным элементом из правого поддерева и рекурсивно удалить '''этот''' минимальный элемент из правого поддерева. Иначе, если удаляемый элемент имеет один дочерний узел, нужно заменить его потомком. Время работы алгоритма {{---}} <tex>O(h)</tex>.
Рекурсивная функция, возвращающая дерево с удаленным элементом <tex>z</tex>:
'''Node''' delete(root : '''Node''', z : '''T'''): <font color="green">// корень поддерева, удаляемый ключ</font>
'''else if''' root.left != ''null'' '''and''' root.right != ''null''
root.key = minimum(root.right).key
root.right = delete(root.right, root.right.key)
'''else'''
'''if''' root.left != ''null''
root = root.left
'''else if''' root.right != ''null''
root = root.right
'''else'''
root = root.right''null''
'''return''' root
Функция принимает на вход исследуемую вершину, а также два значения: <tex>\mathtt{min}</tex> и <tex>\mathtt{max}</tex>, которые до вызова функции равнялись <tex> \infty </tex> и <tex> -\infty </tex> соответственно, где <tex> \infty </tex> — очень большое число, т.е. ни один ключ дерева не превосходит его по модулю. Казалось бы, два последних параметра не нужны. Но без них программа может выдать неверный ответ, так как сравнения только вершины и её детей недостаточно. Необходимо также помнить, в каком поддереве для более старших предков мы находимся. Например, в этом дереве вершина с номером <tex>8</tex> находится левее вершины, в которой лежит <tex>5</tex>, чего не должно быть в дереве поиска, однако после проверки функция бы вернула <tex>\mathtt{true}</tex>.
'''bool''' isBinarySearchTree(root: '''Node'''): <font color="green">// Здесь Tree root — заданное двоичное деревокорень заданного двоичного дерева.</font>
'''bool''' check(v : '''Node''', min: '''T''', max: '''T'''): <font color="green">// min и max — минимально и максимально допустимые значения в вершинах поддерева.</font>
'''if''' v == ''null'' '''return''' ''true''
'''if''' v.key <= min '''or''' max <= v.key '''return''' ''false''
'''return''' check(v.left, min, v.key) '''and''' check(v.right, v.key, max)
'''return''' check(root, <tex> -\infty </tex>, <tex> \infty </tex>) <font color="green">// root {{---}} корень дерева.</font>
Время работы алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} количество вершин в дереве.
{{Задача
|definition = Найти в данном дереве такую вершину, что поддерево, для которого она является будет корнем, будет максимальным деревом поддерева поискас наибольшим количеством вершин.
}}
Если мы будем приведённым выше способом проверять каждую вершину, мы справимся с задачей за <tex>O(n^2)</tex>. Но её можно решить за <tex>O(n)</tex>, идя от корня и проверяя все вершины по одному разу, основываясь на следующих фактах:
Введём <tex>\mathtt{v.min}</tex> и <tex>\mathtt{v.max}</tex>, которые будут хранить минимум в левом поддереве вершины и максимум в правом. Тогда мы должны будем проверить, являются ли эти поддеревья деревьями поиска и, если да, лежит ли ключ вершины <tex>\mathtt{v}</tex> между этими значениями <tex>\mathtt{v.min}</tex> и <tex>\mathtt{v.max}</tex>. Если вершина является листом, она автоматически становится деревом поиска, а её ключ {{---}} минимумом или максимумом для её родителя (в зависимости от расположения вершины). Функция <tex>\mathtt{cnt}</tex> записывает в <tex>\mathtt{v.kol}</tex> количество вершин в дереве, если оно является деревом поиска или <tex>\mathtt{-1}</tex> в противном случае. После выполнения функции ищем за линейное время вершину с наибольшим значением <tex>\mathtt{v.kol}</tex>.
'''int''' count(root: '''Node'''): <font color="green">// Tree root — заданное двоичное деревокорень заданного двоичного дерева.</font>
'''int''' cnt(v: '''Node'''):
Алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>, так как мы прошлись по дереву два раза за время, равное количеству вершин.
===Восстановление дерева по результату обхода preorderTraversal===
* [[Рандомизированное бинарное дерево поиска]]
* [[Красно-черное дерево]]
==Источники информации==
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0 Википедия {{---}} Двоичное дерево поиска]
