192
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
}}
|definition=
'''Язык <tex>L</tex> удовлетворяет множеству образцов <tex>\Gamma</tex>''', если <tex>L</tex> удовлетворяет хотя бы одному образцу <tex>X \in \Gamma</tex>.
}}
{{Лемма
|statement=
Разрешим множество <tex>K</tex>с помощью этой функции. Для проверяемого элемента <tex>y</tex> подготовим программу <tex>g</tex>:
<tex>g(x):</tex> '''if ''' <tex>x \in H</tex>
'''return''' <tex>y \in K</tex>
'''if ''' <tex>x \in G</tex>
'''return''' <tex>y \notin K</tex>
После этого запустим параллельно проверки <tex>y \in K</tex> и <tex>L(g) \in A</tex>. Если <tex>y \in K</tex>, то первая проверка завершится. Иначе функция <tex>g</tex> задаёт язык <tex>G</tex>, который обладает свойством <tex>A</tex>, следовательно, вторая проверка завершится, сигнализируя о том, что <tex>y \notin K</tex>. Но <tex>K</tex> не является разрешимым множеством, получено противоречие.
}}
{{Лемма
|proof=
Строим доказательство от противного. Пусть <tex>G \in A</tex>, и любое конечное подмножество <tex>G</tex> не удовлетворяет свойству <tex>A</tex>, <tex>K</tex> — перечислимое неразрешимое множество. Определим следующую функцию:
* <tex>f(x, y) = false</tex> false, если за <tex>x</tex> шагов перечисления <tex>K</tex> появилось слово <tex>y</tex>.
* <tex>f(x, y) = x \in G</tex> иначе.
Заметим, что если <tex>y \in K</tex>, то <tex>f(x, y)</tex> распознаёт некоторое конечное подмножество <tex>G</tex> и всё множество <tex>G</tex> иначе. Эта функция тривиальным образом разрешима, построим с её помощью разрешитель <tex>K</tex>. Аналогично доказательству первой леммы, подготовим программу <tex>g</tex>:
После этого параллельно запустим проверки <tex>y \in K</tex> и <tex>L(g) \in A</tex>. Аналогично, данная процедура разрешает множество <tex>K</tex>. Но <tex>K</tex> не является разрешимым, получено противоречие.
}}
'''Теорема Райса-Шапиро''' позволяет дать простое описание перечислимым свойствам языков. Заметим, что вычислимо работать с произвольными языками возможности нет, поэтому далее неявно подразумевается, что все рассматриваемые языки являются [[Перечислимые языки|перечислимыми]]. Заметим, что образцы являются конструктивными объектами, следовательно, можно говорить о разрешимых и перечислимых множествах образцов. {{Теорема|about=Райса-Шапиро|statement=Свойство языков <tex>A</tex> перечислимо <tex>\iff \exists\Gamma : L \in A \iff L \subseteq \Gamma.</tex>}} <tex>\Rightarrow</tex> : Доказательство в одну сторону тривиально: пусть <tex>\Gamma</tex> — перечислимое множество образцов. Будем обозначать за <tex>\Gamma_i</tex> образец с номером <tex>i</tex>, а за <tex>\Gamma_{ij}</tex> — элемент с номером <tex>j</tex> образца с номером <tex>i</tex>. Далее приведён код полуразрешителя <tex>A</tex>, который принимает на вход код полуразрешителя <tex>L</tex> и возвращает значение <tex>L \in A</tex>. A(L): '''for''' t = 1 '''to''' <tex>\infty</tex> '''for''' i = 1 '''to''' t ok <tex>=</tex> ''true'' '''for''' j = 1 '''to''' <tex>|\Gamma_i|</tex> '''if''' <tex>\lnot L|_t (\Gamma_{ij})</tex> ok <tex>=</tex> ''false'' '''if''' ok '''return''' ''true'' <tex>\Leftarrow</tex>:Для доказательства в другую сторону будем использовать две леммы, приведённые выше. Полуразрешитель для множества образцов, удовлетворяющих <tex>\Gamma</tex> строится следующим образом: для каждого образца <tex>\gamma</tex> строится текст программы
f<tex>{}_\gamma</tex>(x):
'''return''' x <tex>{} \in \gamma</tex>
:Текст программы передаётся полуразрешителю <tex>A</tex>.
:Докажем, что данное построение корректно. Обозначим множество образцов, принимаемое построенным выше полурарешителем <tex>\Gamma</tex>. Пусть существует <tex>\gamma \in \Gamma</tex> такой, что <tex>L</tex> удовлетворяет <tex>\gamma</tex>. По определению <tex>\Gamma</tex>, язык <tex>\gamma</tex> удовлетворяет свойству <tex>A</tex>. Язык <tex>L</tex> удовлетворяет свойству <tex>A</tex> по первой лемме как надмножество <tex>\gamma</tex>.
:Пусть <tex>L \in A</tex>. Тогда по второй лемме найдётся образец <tex>\gamma</tex>, который является подмножеством <tex>L</tex> и удовлетворяет свойству <tex>A</tex>. Следовательно, этот образец лежит в множестве <tex>\Gamma</tex> и язык <tex>A</tex> удовлетворяет множеству образцов <tex>\Gamma</tex>, что и требовалось доказать.
== См. также==
