Изменения

Введем следующие обозначения: <tex>m = |N|</tex> и <tex>l</tex> — длина самой длинной правой части правила из <tex>P</tex>. Тогда в качестве <tex>n</tex> возьмем <tex>l^{2m + 3}</tex>. Рассмотрим дерево разбора <tex>T</tex> для произвольного слова <tex>\omega \in L(\Gamma)</tex>, у которого <tex>|\omega| \ge geqslant n</tex>. В силу выбора <tex>n</tex> в <tex>T</tex> будет по крайне мере один путь от корня до листа длины не менее <tex>2m + 3</tex>. Произвольным образом выделим в <tex>\omega</tex> не менее <tex>n</tex> позиций. Соответствующие этим позициям листья дерева <tex>T</tex> будем называть выделенными.

Пусть <tex>v_1</tex> — корень <tex>T</tex>, а <tex>v_{i + 1}</tex> — сын <tex>v_i</tex>, который имеет среди своих потомков наибольшее число выделенных листьев (если таких несколько, то <tex>v_{i + 1}</tex> самый правый из них). Рассмотрим <tex>v_1, v_2, ...\ldots, v_p</tex> — {{---}} путь от корня до листа.

Будем называть ветвящейся ту вершину, у которой по крайне мере два сына имеют выделенных потомков. Докажем по индукции, что если среди <tex>v_1, v_2, ...\ldots, v_i</tex> вершин есть <tex>k</tex> ветвящихся, то <tex>v_{i + 1}</tex> имеет хотя бы <tex>l^{2m + 3 - k}</tex> выделенных потомков. <br>База индукции: <tex>i = 0</tex>. Тогда <tex>k = 0</tex> и <tex>v_1</tex> имеет по крайне мере <tex>n</tex> выделенных потомков, поскольку является корнем. <br>Индукционный переход. Если <tex>v_i</tex> не является ветвящейся вершиной, то <tex>v_{i + 1}</tex> имеет такое же число ветвящихся потомков, как и <tex>v_i</tex>. Если <tex>v_i</tex> — ветвящаяся вершина, то <tex>v_{i + 1}</tex> имеет не более чем в <tex>l</tex> раз меньшее число выделенных потомков.

Поскольку <tex>v_1</tex> имеет хотя бы <tex>n = l^{2m + 3}</tex> выделенных потомков, то <tex>v_1, v_2, ...\ldots, v_p</tex> содержит по крайне мере <tex>2m + 3</tex> ветвящиеся вершин. Заметим, что <tex>v_p</tex> — {{---}} лист, поэтому <tex>p > 2m + 3</tex>.

[[Файл:derivation_tree_T.png|240px|thumb|left|Дерево вывода <tex>T</tex>]]Будем называть <tex>v_i</tex> левой ветвящейся вершиной, если ее сын, не принадлежащий пути <tex>v_1, v_2, ...\ldots, v_p</tex>, имеет выделенного потомка, лежащего слева от <tex>v_p</tex>. В противном случае назовем <tex>v_i</tex> правой ветвящейся вершиной. Рассмотрим последние <tex>2m + 3</tex> вершины, принадлежащие пути <tex>v_1, v_2, ...\ldots, v_p</tex>. Предположим, что хотя бы <tex>m + 2</tex> вершины {{---}} левые ветвящиеся (случай, когда хотя бы <tex>m + 2</tex> вершины {{---}} правые ветвящиеся, разбирается аналогично). Пусть <tex>u_1, u_2, ...\ldots, u_{m + 2}</tex> — {{---}} последние <tex>m + 2</tex> левые ветвящиеся вершины. Поскольку <tex>m = |N|</tex>, то среди них можно найти как минимум две вершины, соответствующие одному нетерминалу. Обозначим эти вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, причем <tex>b</tex> {{---}} потомок <tex>a</tex>. Тогда на рисунке показано, как представить <tex>\omega</tex> в требуемом виде.

Условие <tex>(1) </tex> выполнено, поскольку <tex>x</tex> содержит выделенную вершину, а именно <tex>v_p</tex>. Очевидно, что условие <tex>(4) </tex> выполнено в силу предложенного разбиения <tex>\omega</tex>. Кроме того, <tex>u</tex> содержит выделенную вершину, а именно потомка некоторого сына вершины <tex>u_1</tex>. Аналогично, выделенный потомок некоторого сына вершины <tex>a</tex> содержится в <tex>v</tex>. Таким образом, условие <tex>(2) </tex> выполнено. Поскольку между <tex>v_p</tex> и <tex>a</tex> не более <tex>2m + 3</tex> вершин, вершина <tex>a</tex> имеет не более <tex>n</tex> выделенных потомков, поэтому условие <tex>(3) </tex> выполнено.

== Пример Примеры не КС-языка, для которого выполняется лемма ==ДокажемСледует обратить особое внимание на то, что можно лемма содержит лишь необходимые условия принадлежности КС языку.===Пример <tex> 1 </tex>==={{Утверждение|statement=Можно построить такой язык, для которого будет выполняться лемма Огдена, однако он язык не будет контекстно-свободным. |proof=При анализе этого языка следует использовать алгебраические свойства множества. Выберем <tex>P</tex> {{---}} подмножество <tex>N</tex> и

Для <tex>B_{p}</tex> будет выполняться лемма Огдена для при <tex>n = 4</tex>. Выбрав <tex>A_{p}</tex> таким образом, чтобы он был рекурсивно-перечислимым, мы создадим такой языкдля которого будет выполняться лемма Огдена, однако язык не будет контекстно-свободным. (Такие языки существуют)<ref><A.V. Aho & J.D. Ullman, The Theory of Parsing, Translation and Compilimg, Vol. I, 1972</ref> }}

=== Пример не КС-языка, для которого выполняется лемма <tex> 2 </tex> ===Докажем, что язык {{Утверждение|statement=Язык <tex>L = {a^mb^nc^l}</tex>, где <tex> m, n, l </tex> {{- --}} попарно различны, не является КС-языком.|proof=

Предположим, что данный язык контекстно-свободный. Возьмем цепочку <tex>\omega = a^kb^{k+(k-1)!} c^{k+k!}</tex>, где <tex>k</tex> {{- --}} константа из леммы Огдена, выделив в ней все вхождения символа <tex>a</tex>. Тогда при представлении цепочки <tex>\omega</tex> в виде <tex>uvxyz</tex> цепочка <tex>x</tex> (по условию (1) леммы) обязательно «зацепит» хотя бы один

<tex>k + \alpha \cdot p = k + k!</tex>, то есть <tex>\alpha = \fracdfrac{k!}{p} </tex>

Во втором случае <tex>\fracdfrac {k-1!}{p}</tex> - кратная накачка цепочки <tex>v</tex> уравняет числа вхождений символов <tex>a</tex> и <tex>b</tex>.

Заметим, что возможность выделения символов существенно упрощает анализ данного языка, так как позволяет считать, что цепочка <tex>v</tex> может расположиться единственным способом. Иначе, т.е. при использовании леммы о разрастании для кс-языков, решениезадачи было бы, по меньшей мере, сильно затруднено. }}

*[[Лемма_о_разрастании_для_КС-грамматик|Лемма о разрастании для КС-грамматик]]

*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Лемма_Огдена Wikipedia {{---}} Лемма Огдена]*''Hopcroft, Motwani and Ullman '' {{---}} Automata Theory, Languages, and Computation {{---}} Addison-Wesley, 1979. ISBN 81-7808-347-7.*''Ogden, W. '' (1968). "A helpful result for proving inherent ambiguity". Mathematical Systems Theory. 2 (3): 191–194.*[http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ITA/ITA_1978__12_3/ITA_1978__12_3_201_0/ITA_1978__12_3_201_0.pdf On languages satisfying Ogden's lemma]*[http://ccf.ee.ntu.edu.tw/~yen/courses/toc14/chapter-2a.pdf Ogden's lemma]