105
правок
Изменения
м
ё
== Идея ==
Для понимания идеи алгоритма представим, что наша сеть {{---}} система из резервуаров, находящихся на определенной высоте, и соединяющих их труб с заданными пропускными способностями, соответствующих вершинам и ребрам рёбрам в исходной сети. Сам алгоритм можно представить как процесс поочередного "переливания" жидкости (операция проталкивания) из одного резервуара в другие, находящиеся на меньшей высоте, до тех пор пока не перестанет существовать резервуар, соответствующий переполненной вершине. Может случиться ситуация, что все трубы, выходящие из переполненной вершины <tex> u </tex>, ведут к вершинам, находящимся на такой же высоте что и <tex> u </tex> или выше еееё. В таком случае поднимем резервуар (операция подъема), соответствующий данной вершине, таким образом, чтобы его высота стала на единицу больше, чем высота самого низкого из смежных резервуаров. После подъема будет существовать по крайней мере одна труба, по которой можно пропустить жидкость.
В итоге, у нас не останется ни одной переполненной вершины, та часть потока, которая могла пройти к стоку, окажется там, остальная же вернется в исток. В такой ситуации предпоток превращается в обычный поток, так как для каждой вершины выполняется условие сохранения потока. Как будет показано далее, предпоток становится не только обычным, но и максимальным потоком.
Операция подъема применима для вершины <tex> u </tex>, если <tex> e(u) > 0 </tex> и <tex> \forall (u, v) \in E_f \quad h(u) \leqslant h(v) </tex>.
То есть, для переполненной вершины <tex> u </tex> применима операция подъема, если все вершины, для которых в остаточной сети есть ребра рёбра из <tex> u </tex>, расположены не ниже <tex> u </tex>. Следовательно, операцию проталкивания для вершины <tex> u </tex> произвести нельзя.
В результате подъема высота текущей вершины становится на единицу больше высоты самый низкой смежной вершины в остаточной сети, вследствие чего появляется как минимум одно ребро, по которому можно протолкнуть поток.
== Схема алгоритма ==
Для начала проинициализируем предпоток. Пропустим максимально возможный поток по ребрамрёбрам, инцидентным истоку, увеличив избыточный поток для каждой смежной с истоком вершиной на соответствующую величину. Все остальные потока не несут, следовательно, для вершин не смежных с истоком избыточный поток изначально будет нулевым. Также для всех вершин, кроме, естественно, истока, установим высоту, равную нулю.
Более формально это можно записать так:
initializePreflow(s);
'''while''' <tex> \exists </tex> применимая операция <tex> \mathrm{push} </tex> или <tex> \mathrm{relabel} </tex>
выбрать операцию и выполнить еееё
== Корректность алгоритма ==
Доказательство проведем по числу выполненных операций проталкивания и подъема.
Для начала покажем, что после выполнения операции <tex> \mathrm{initializePreflow} </tex> <tex> h </tex> является функцией высоты. Для всех реберрёбер, не инцидентных <tex> s </tex>, высота обоих концов равна нулю, что удовлетворяет условиям. Единственными ребрами рёбрами <tex> (u, v) </tex>, для которых не выполняются условия, налагаемые на функцию высоты, то есть для которых <tex> h(u) > h(v) + 1 </tex>, являются ребрарёбра, у которых <tex> u = s </tex>. Но после операции <tex> \mathrm{initializePreflow} </tex> ребра рёбра являются насыщенными и не принадлежат остаточной сети.
Это будет базой нашей индукции.
Покажем, что после окончания операции проталкивания утверждение верно. После выполнения операции <tex> \mathrm{push}</tex><tex>(u, v)</tex> в <tex> E_f </tex> может появиться ребро <tex> (v, u) </tex>, если до операции по ребру <tex> (u, v) </tex> протекал нулевой поток, или же ребро <tex> (u, v) </tex> может насытиться, и тогда оно перестанет принадлежать остаточной сети. В первом случае <tex> h(v) = h(u) - 1 < h(u) + 1 </tex>, и, следовательно, <tex> h </tex> остается функцией высоты. Во втором же случае при удалении ребра <tex> (u, v) </tex> из остаточной сети происходит лишь удаление соответствующих ограничений на высоты <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, так что <tex> h </tex> остается функцией высоты.
Теперь рассмотрим операцию подъема вершины <tex> u </tex>. По определению данной операции гарантируется, что после ее её выполнения для любого ребра <tex> (u, v) \in E_f </tex> выполняется условие <tex> h(u) \leqslant h(v) + 1 </tex>, то есть все выходящие ребра рёбра удовлетворяют условиям, накладываемым на функцию высоты. Рассмотрим какое-то входящее ребро <tex> (w, u) </tex>. Так как до операции <tex> h </tex> являлась функцией высоты, то справедливо <tex> h(w) \leqslant h(u) + 1 </tex>. После подъема высота вершины <tex> u </tex> увеличивается как минимум на единицу, следовательно, после выполнения данной операции <tex> h(w) < h(u) + 1 </tex>. Таким образом, <tex> h </tex> и после выполнения операции <tex> \mathrm{relabel}</tex><tex>(u) </tex> остается функций высоты.
}}
Пусть <tex> f </tex> {{---}} предпоток в сети <tex> G </tex>. Тогда для любой переполненной вершины можно выполнить операцию проталкивания либо операцию подъема.
|proof =
Рассмотрим вершину <tex> u </tex>, для которой <tex> e(u) > 0 </tex>. Для любого ребра <tex> (u, v) \in E_f </tex> справедливо <tex> h(u) \leqslant h(v) + 1 </tex> по свойствам функции высоты. Если к вершине <tex> u </tex> применима операция проталкивания, то лемма доказана. Иначе, для всех ребер рёбер <tex> (u, v) \in E_f </tex> выполняется соотношение <tex> h(u) < h(v) + 1 </tex>. Следовательно, <tex> h(u) \leqslant h(v) </tex>. Но тогда данная вершина удовлетворяет условиям операции подъема, следовательно, к вершине <tex> u </tex> можно применить эту операцию.
}}
Количество насыщающих проталкиваний при выполнение алгоритма <tex> \mathrm{pushRelabelMaxFlow}</tex> не превосходит <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert \cdot \left\vert E \right\vert </tex>
|proof =
Возьмем произвольную пару вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> и рассмотрим насыщающие проталкивания по ребрам рёбрам <tex> (u, v) </tex> и <tex> (v, u) </tex>. Предположим, что произошло насыщающее проталкивание по ребру <tex> (u, v) </tex>. Тогда во время проталкивания <tex> h(v) = h(u) - 1 </tex>. Для того, чтобы могло произойти еще одно насыщающее проталкивание по ребру <tex> (u, v) </tex>, мы должны для начала протолкнуть поток из <tex> v </tex> в <tex> u </tex>, чтобы ребро <tex> (u, v) </tex> снова появилось в остаточной сети. Но для этого должно выполняться условие <tex> h(v) = h(u) + 1 </tex>, то есть высота вершины <tex> u </tex> должна увеличится как минимум на 2. По [[#Лемма5|лемме (5)]] высота вершины не превышает <tex> 2 \cdot\left\vert V \right\vert - 1 </tex>, следовательно, количество раз, когда высота вершины может увеличится на 2, меньше <tex> \left\vert V \right\vert </tex>. Поскольку между двумя насыщающими проталкиваниями высота одной из вершин должна увеличится по меньшей мере на 2, то между вершинами <tex> u </tex> и <tex> v </tex> их будет не более <tex> 2 \cdot\left\vert V \right\vert </tex>. Тогда суммарно по всем ребрам рёбрам во время работы алгоритма произойдут не более <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert \cdot \left\vert E \right\vert </tex> насыщающих проталкиваний.
}}
Для начала рассмотрим, каким образом может увеличиваться величина <tex> \Phi </tex>.
Первое, что может увеличить <tex> \Phi </tex>, это подъем, поскольку, осуществляя данную операцию, мы не изменяем избыточный поток ни у одной вершины, а лишь увеличиваем высоту одной из них. При каждой операции подъема <tex> \Phi </tex> увеличивается менее чем на <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert </tex>, так как подъем не может увеличить высоту вершины больше, чем ее её максимальная высота, которая согласно [[#Лемма5|лемме (5)]] может быть не более <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. А поскольку из [[#Лемма6|леммы (6)]] известно, что число подъемов не превышает <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert ^2 </tex>, то суммарно подъемы всех вершин могут увеличить <tex> \Phi </tex> не более чем на <tex> 4 \cdot \left\vert V \right\vert^3 </tex>.
Во-вторых, величина <tex> \Phi </tex> может увеличится при насыщающем проталкивании из <tex> u </tex> в <tex> v </tex>, потому что <tex> e(u) > 0 </tex> и после насыщающего проталкивания, а вершина <tex> v </tex> может стать переполненной. Увеличение меньше <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert </tex>, так как изменения высот не происходит, а высота вершины <tex> v </tex> не превосходит <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. Но по [[#Лемма8|лемме (8)]] известно, что количество насыщающих проталкиваний за все время выполнения алгоритма не превосходит <tex> 2 \cdot \left\vert V \right\vert \cdot \left\vert E \right\vert </tex>, следовательно, за счет насыщающих проталкиваний <tex> \Phi </tex> увеличится не более чем на <tex> 4 \cdot \left\vert V \right\vert^2 \cdot \left\vert E \right\vert </tex>.
Итого, получаем, что величина <tex> \Phi </tex> не может быть больше <tex> 4 \cdot \left\vert V \right\vert ^2 \cdot (\left\vert V \right\vert + \left\vert E \right\vert) </tex>.
Теперь покажем, что ненасыщающее проталкивание уменьшает <tex> \Phi </tex> как минимум на единицу. Пусть произошло ненасыщающее проталкивание из вершины <tex> u </tex> в <tex> v </tex>. Согласно [[#Лемма7|лемме (7)]] после ненасыщающего проталкивания вершина <tex> u </tex> перестает быть переполненной, следовательно, <tex> \Phi </tex> уменьшается на величину ее её высоты. После проталкивания вершина <tex> v </tex> является переполненной, и поэтому <tex> \Phi </tex> могла увеличится на <tex> h(v) </tex>. Поскольку <tex> h(u) = h(v) - 1 </tex>, то при каждом ненасыщающем проталкивании <tex> \Phi </tex> уменьшается по меньшей мере на единицу.
Зная верхнюю границу величины <tex> \Phi </tex>, ее её значение после выполнения алгоритма и то, что при каждом ненасыщающем проталкивании <tex> \Phi </tex> уменьшается минимум на единицу, то можно сделать вывод, что количество ненасыщающих проталкиваний не больше чем <tex> 4 \cdot \left\vert V \right\vert ^2 (\left\vert V \right\vert + \left\vert E \right\vert) </tex>.
}}
