276
правок
Изменения
Новая страница: «Суммой двух производящих функций <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> и <tex>B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots</tex> ...»
Суммой двух производящих функций <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> и <tex>B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots</tex> называется производящая функция <tex>A(s) + B(s) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) s + (a_2 + b2) s^2 + \dots</tex>.
Произведением производящих функций <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называется производящая функция <tex>A(s)B(s) = a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) s + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) s^2 + \dots</tex>.
Операции сложения и умножения производящих функций коммутативны и ассоциативны.
Пусть <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> и <tex>B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots</tex> {{---}} две производящие функции, причем <tex>B(0) = b_0 = 0</tex>.
Подстановкой производящей функции <tex>B</tex> в производящую функцию <tex>A</tex> называется производящая функция <tex>A(B(t)) = a_0 + a_1 b_1 t + (a_1 b_2 + a_2 b_1^2) t^2 + (a_1 b_3 + 2 a_2 b_1 b_2 + a_3 b_1^3) t^3 + \dots</tex>.
Если, например, <tex>B(t) = -t</tex>, то <tex>A(B(t)) = A(-t) = a_0 -a_1 t + a_2 t^2 - a_3 t^3 + \dots</tex>.
Операция подстановки функции, отличной от нуля в нуле, не определена. (При попытке подставить такую функцию возникает необходимость суммирования бесконечных числовых рядов).
{{Теорема
|about = об обратной функции
|statement= Пусть функция <tex>B(t) = b_1 t + b_2 t^2 + b_3 t^3 + \dots</tex> такова, что <tex>B(0) = b_0 = 0</tex>, а <tex>b_1 \ne 0</tex>. Тогда существуют такие функции <tex> A(s) = a_1 s + a_2 s^2 + a_3 s^3 + \dots</tex>, <tex>A(0) = 0</tex> и <tex>C(u) = c_1 u + c_2 u^2 + c_3 u^3 + \dots</tex>, <tex>C(0) = 0</tex>, что <tex>A(B(t)) = t</tex> и <tex>B(C(u)) = u</tex>. При этом, функции <tex>A</tex> и <tex>C</tex> единственны. Функция <tex>A</tex> называется левой обратной, а функция <tex>C</tex> {{---}} правой обратной к функции <tex>B</tex>.
|proof=
:Докажем существование и единственность левой обратной функции. Доказательство для правой обратной аналогично. Будем определять кожффициенты функции <tex>A</tex> последовательно. Коэффициент <tex>a_1</tex> определяется из условия <tex>a_1 b_1 = 1</tex>, откуда <tex>a_1 = \dfrac{1}{b_1}</tex>.
:Предположим теперь, что коэффициенты <tex>a_1, a_2, \dots, a_n</tex> уже определены. Коэффициент <tex>a_{n+1}</tex> определяется из условия <tex>a_{n+1} b_1^{n+1} + \dots = 0</tex>, где точками обозначен неокторый многочлен от <tex>a_1, \dots, a_n</tex> и <tex>b_1, \dots, b_n</tex>. Тем самым, условие представляет собой линейное уравнение на <tex>a_{n+1}</tex>, причем коэффициент <tex>b_1^{n+1}</tex> при <tex>a_{n+1}</tex> отличен от нуля. Такое уравнение имеет единственное решение, и теорема доказана.
}}
Произведением производящих функций <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называется производящая функция <tex>A(s)B(s) = a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) s + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) s^2 + \dots</tex>.
Операции сложения и умножения производящих функций коммутативны и ассоциативны.
Пусть <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> и <tex>B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots</tex> {{---}} две производящие функции, причем <tex>B(0) = b_0 = 0</tex>.
Подстановкой производящей функции <tex>B</tex> в производящую функцию <tex>A</tex> называется производящая функция <tex>A(B(t)) = a_0 + a_1 b_1 t + (a_1 b_2 + a_2 b_1^2) t^2 + (a_1 b_3 + 2 a_2 b_1 b_2 + a_3 b_1^3) t^3 + \dots</tex>.
Если, например, <tex>B(t) = -t</tex>, то <tex>A(B(t)) = A(-t) = a_0 -a_1 t + a_2 t^2 - a_3 t^3 + \dots</tex>.
Операция подстановки функции, отличной от нуля в нуле, не определена. (При попытке подставить такую функцию возникает необходимость суммирования бесконечных числовых рядов).
{{Теорема
|about = об обратной функции
|statement= Пусть функция <tex>B(t) = b_1 t + b_2 t^2 + b_3 t^3 + \dots</tex> такова, что <tex>B(0) = b_0 = 0</tex>, а <tex>b_1 \ne 0</tex>. Тогда существуют такие функции <tex> A(s) = a_1 s + a_2 s^2 + a_3 s^3 + \dots</tex>, <tex>A(0) = 0</tex> и <tex>C(u) = c_1 u + c_2 u^2 + c_3 u^3 + \dots</tex>, <tex>C(0) = 0</tex>, что <tex>A(B(t)) = t</tex> и <tex>B(C(u)) = u</tex>. При этом, функции <tex>A</tex> и <tex>C</tex> единственны. Функция <tex>A</tex> называется левой обратной, а функция <tex>C</tex> {{---}} правой обратной к функции <tex>B</tex>.
|proof=
:Докажем существование и единственность левой обратной функции. Доказательство для правой обратной аналогично. Будем определять кожффициенты функции <tex>A</tex> последовательно. Коэффициент <tex>a_1</tex> определяется из условия <tex>a_1 b_1 = 1</tex>, откуда <tex>a_1 = \dfrac{1}{b_1}</tex>.
:Предположим теперь, что коэффициенты <tex>a_1, a_2, \dots, a_n</tex> уже определены. Коэффициент <tex>a_{n+1}</tex> определяется из условия <tex>a_{n+1} b_1^{n+1} + \dots = 0</tex>, где точками обозначен неокторый многочлен от <tex>a_1, \dots, a_n</tex> и <tex>b_1, \dots, b_n</tex>. Тем самым, условие представляет собой линейное уравнение на <tex>a_{n+1}</tex>, причем коэффициент <tex>b_1^{n+1}</tex> при <tex>a_{n+1}</tex> отличен от нуля. Такое уравнение имеет единственное решение, и теорема доказана.
}}
