276
правок
Изменения
→Обратная
Производящие функции, соответствующие рядам <tex>A</tex> и <tex>C</tex>, называются соответственно '''левой''' и '''правой обратной''' (англ. ''left (right) inverse'') к производящей функции, соответствующей ряду <tex>B</tex>.
|proof =
:Докажем по индукции существование и единственность левой обратной функции. Доказательство для правой обратной аналогично. :Будем определять коэффициенты ряда <tex>A</tex> последовательно. Коэффициент Поскольку <tex>a_1A(B(t)) = t</tex> определяется из условия , <tex>a_1 b_1 = 1</tex>, откуда <tex>a_1 = \dfrac{1}{b_1}</tex>. Все остальные коэффициенты результирующего ряда при этом равны нулю.
:Предположим теперь, что коэффициенты <tex>a_1, a_2, \dots, a_n</tex> уже определены. Коэффициент <tex>a_{n+1}</tex> определяется из условия <tex>a_{n+1} b_1^{n+1} + \dots = 0</tex>, где точками обозначен некоторый многочлен от <tex>a_1, \dots, a_n</tex> и <tex>b_1, \dots, b_n</tex>. Тем самым, условие представляет собой линейное уравнение на <tex>a_{n+1}</tex>, причем коэффициент <tex>b_1^{n+1}</tex> при <tex>a_{n+1}</tex> отличен от нуля. Такое уравнение имеет единственное решение, и теорема доказана.
}}
===Пример===
<tex>B(s) = s + s^2</tex>
:<tex>a_0 = 0</tex>
:<tex>a_1 = \dfrac{1}{b_1} = 1</tex>
:<tex>a_1 b_2 + a_2 b_1^2 = 0 \Rightarrow a_2 = - \dfrac{a_1 b_2}{b_1^2} = - \dfrac{1 \cdot 1}{1^2} = -1</tex>
:<tex>a_1 b_3 + 2 a_2 b_1 b_2 + a_3 b_1^3 = 0 \Rightarrow a_3 = - \dfrac{a_1 b_3 + 2 a_2 b_1 b_2}{b_1^3} = - \dfrac{1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) \cdot 1}{1^3} = 2</tex>
:<tex>\dots</tex>
:<tex>A(s) = s - s^2 + 2 s^3 + \dots</tex>
==См. также==
