Изменения

Рациональные производящие функции получаются при [[Производящая функция#Решение рекуррентных соотношений|решении линейных рекуррентных соотношений]]. По этой причине актуальной является задача о разложении рациональной функции в ряд по степеням переменной z. <br>Чтобы разложить дробь в ряд, необходимо разбить её (если это возможно) на сумму «более простых» дробей: таких дробей, разложение которых мы можем посмотреть в таблице или вывести из каких-то элементарных соображений. Такая процедура назвается разбиением на элементарные дроби.

Эти дроби, в свою очередь, лекго Чтобы разложить дробь в ряд, пользуясь [[Арифметические действия с формальными степенными рядаминеобходимо разбить её на сумму элементарных дробей.{{Определение |преобразованиями]] definition='''Элементарными дробями''' будем называть дроби вида:<tex>\dfrac{A}{(x-a)^n}</tex>, <tex>\dfrac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^m}</tex>, где m, n >= 1и [[Производящая функция#Примеры простых производящих функций|таблицей производящих функций]].(x^2 + px + q) не имеет рациональных корней}}

ПримерЗатем, элементарные дроби сможем разложить в ряд, пользуясь [[Арифметические действия с формальными степенными рядами|формулами преобразования производящих функций]] и [[Производящая функция#Примеры простых производящих функций|таблицей производящих функций]].<br> ==Общий алгоритм==# Привести дробь P(z)/Q(z) к такому виду, чтобы степень числителя была меньше степени знаменателя.Если deg(P) > deg(Q), то можем записать <tex>G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)} = R(z)+\dfrac{P0(z)}{Q(z)}</tex>, где deg(P0) < deg(Q)# Разобьем знаменатель Q(z) на множители Q(z) = (zk-z)^k1 *..., где z1, z2, ..., zs - корни уравнения Q(z) = 0. При этом, k1+k2+⋅⋅⋅+ks=deg Q После разбиения знаменателя на множители получим: <tex>G(z)=\dfrac{P(z)}{(z1-z)^k1 *...(zs-z)^ks}</tex> (k1, ks - сделать индексами) # Приведем G(z) к сумме дробей, знаменатели которых будут иметь вид (zs−z)^ks, а числители — полиномы с неопределёнными коэффициентами, имеющие степень ks−1. <tex>G(z)=\dfrac{P(z)}{(z1-z)^k1 *...(zs-z)^ks} = \sum\limits \dfrac{Pj(z)}{(zj-z)^kj}</tex> где, Pj(z) — полином, причем deg Pj(z)<kj. Найдем Pj(z) с помощью [[Разложение рациональной функции в ряд#Метод неопределенных коэффициентов|метода неопределнных коэффициентов]]. <br> ==Метод неопределенных коэффициентов==