195
правок
Изменения
Нет описания правки
== Примеры ==
==== Пример 1 ====
Правильная монета подбрасывается <tex>10</tex> раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от <tex>4</tex> до <tex>6</tex> раз.
Вычислим отдельно вероятности получить <tex>4, 5</tex> и <tex>6</tex> гербов после десяти подбрасываний монеты.
<tex >P(v_{10} = 4) =</tex> <tex> \dbinom{10}{4}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {4} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 4} </tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex>
<tex >P(v_{10} = 5) = </tex> <tex>\dbinom{10}{5}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 5}</tex><tex>~\approx ~ 0{.}246 </tex>
<tex >P(v_{10} = 6) =</tex> <tex> \dbinom{10}{6}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {6} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 6}</tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex>
Сложим вероятности несовместных событий:
<tex>P(4 \leqslant v_{10} \leqslant 6) = P(v_{10} = 4) + P(v_{10} = 5) + P(v_{10} = 6) ~\approx ~ 0{.}656 </tex>
==== Пример 2 ====
Два игрока по очереди подбрасывают правильную игральную кость. Выигрывает тот, кто первым выкинет шесть очков. Найти вероятность победы игрока, начинающего игру.
Шесть очков может впервые выпасть при первом, втором, и так далее. бросках кости. Первый игрок побеждает, если это случится при броске с нечётным номером, второй — с чётным. Пусть событие <tex> A_{k} </tex> состоит в том, что шесть очков впервые выпадет в испытании с номером <tex>k</tex>. По лемме, <tex > P(A_{k}) =</tex> <tex>\dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{k - 1} </tex>
События <tex>A , B</tex>, означающие победу первого и второго игроков соответственно, представимы в виде объединения взимоисключающих событий:
<tex> A = A_{1} \cup A_{3} \cup A_{5} \cup . . . , B = B_{2}\cup B_{4} \cup B_{6} \cup . . .</tex>
Вероятности этих объединений равны суммам вероятностей слагаемых:
<tex > P(A) =</tex><tex> \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2} + \dfrac{1}{6}\cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{4} ... = \dfrac{6}{11}.</tex> Теперь аналогичным образом посчитаю вероятность для события <tex>B</tex>
<tex> P(B) =</tex> <tex>\dfrac{1}{6} \cdot\dfrac{5}{6}+ \dfrac{1}{6} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3} + \dfrac{1}{6}\cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{5} ... = \dfrac{5}{11}.
</tex>
==== Пример 3 ====
Игральная кость подбрасывается пятнадцать раз. Найти вероятность того, что выпадет ровно десять троек и три единицы.
Здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение любой другой грани.
Так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по <tex>\dfrac{1}{6}</tex>, а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) <tex>\dfrac{4}{6}</tex>, то вероятность получить десять троек, три единицы и ещё два других очка равна
<tex > P(10, 3, 2) = </tex> <tex> \dfrac{15!}{10! \cdot 3! \cdot 2!}\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{10} \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{3}\cdot\left(\dfrac{4}{6}\right)^{2}
</tex>
==См. также==
